求解 z^2+27=10z

$${ z }^{ 2 } +27 = 10z$$

求解 z 的值

$$z=5+\sqrt{2}i\approx 5+1.414213562i$$

$$z=-\sqrt{2}i+5\approx 5-1.414213562i$$

运用二次公式的步骤

将方程式两边同时减去 10z。

$$z^{2}+27-10z=0$$

形式为 ax^{2}+bx+c=0 的所有方程式均可求解，方法是使用二次公式来求解: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}。此二次公式可得到两个解，一个是当 ± 取加号时的解，另一个是取减号时的解。

$$z^{2}-10z+27=0$$

此公式采用标准形式: ax^{2}+bx+c=0。在二次公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 中用 1 替换 a，-10 替换 b，并用 27 替换 c。

$$z=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{\left(-10\right)^{2}-4\times 27}}{2}$$

对 -10 进行平方运算。

$$z=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-4\times 27}}{2}$$

求 -4 与 27 的乘积。

$$z=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-108}}{2}$$

将 -108 加上 100。

$$z=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{-8}}{2}$$

取 -8 的平方根。

$$z=\frac{-\left(-10\right)±2\sqrt{2}i}{2}$$

-10 的相反数是 10。

$$z=\frac{10±2\sqrt{2}i}{2}$$

现在 ± 为加号时求公式 z=\frac{10±2\sqrt{2}i}{2} 的解。 将 2i\sqrt{2} 加上 10。

$$z=\frac{10+2\sqrt{2}i}{2}$$

10+2i\sqrt{2} 除以 2。

$$z=5+\sqrt{2}i$$

现在 ± 为减号时求公式 z=\frac{10±2\sqrt{2}i}{2} 的解。 将 10 减去 2i\sqrt{2}。

$$z=\frac{-2\sqrt{2}i+10}{2}$$

10-2i\sqrt{2} 除以 2。

$$z=-\sqrt{2}i+5$$

现已求得方程式的解。

$$z=5+\sqrt{2}i z=-\sqrt{2}i+5$$

使用配方法的步骤

将方程式两边同时减去 10z。

$$z^{2}+27-10z=0$$

将方程式两边同时减去 27。 零减去任何数都等于该数的相反数。

$$z^{2}-10z=-27$$

将 x 项的系数 -10 除以 2 得 -5。然后在等式两边同时加上 -5 的平方。这一运算步骤让等式的左边成为完全平方形式。

$$z^{2}-10z+\left(-5\right)^{2}=-27+\left(-5\right)^{2}$$

对 -5 进行平方运算。

$$z^{2}-10z+25=-27+25$$

将 25 加上 -27。

$$z^{2}-10z+25=-2$$

因数 z^{2}-10z+25。一般说来，当 x^{2}+bx+c 是一个平方数时，它始终可以分解为 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(z-5\right)^{2}=-2$$

对方程两边同时取平方根。

$$\sqrt{\left(z-5\right)^{2}}=\sqrt{-2}$$

化简。

$$z-5=\sqrt{2}i z-5=-\sqrt{2}i$$

在等式两边同时加 5。

$$z=5+\sqrt{2}i z=-\sqrt{2}i+5$$