求解 x^6+1=x^4+x^2

$${ x }^{ 6 } +1= { x }^{ 4 } + { x }^{ 2 }$$

求解 x 的值

$$x=-1$$

$$x=1$$

求解步骤

将方程式两边同时减去 x^{4}。

$$x^{6}+1-x^{4}=x^{2}$$

将方程式两边同时减去 x^{2}。

$$x^{6}+1-x^{4}-x^{2}=0$$

整理方程式，将其化为标准形式。按幂从高到低的顺序排列各项。

$$x^{6}-x^{4}-x^{2}+1=0$$

依据“有理根定理”，多项式的所有有理根都是 \frac{p}{q} 的形式，其中，p 除以常数项 1，q 除以首项系数 1。 列出所有候选 \frac{p}{q}。

$$±1$$

通过尝试所有整数值(按绝对值从最小值开始)，查找一个类似的根。如果找不到整数根，请尝试分数。

$$x=1$$

依据“因式定理”，x-k 是每个根 k 的多项式因数。 x^{6}-x^{4}-x^{2}+1 除以 x-1 得 x^{5}+x^{4}-x-1。 求解结果等于 0 的方程式。

$$x^{5}+x^{4}-x-1=0$$

依据“有理根定理”，多项式的所有有理根都是 \frac{p}{q} 的形式，其中，p 除以常数项 -1，q 除以首项系数 1。 列出所有候选 \frac{p}{q}。

$$±1$$

通过尝试所有整数值(按绝对值从最小值开始)，查找一个类似的根。如果找不到整数根，请尝试分数。

$$x=1$$

依据“因式定理”，x-k 是每个根 k 的多项式因数。 x^{5}+x^{4}-x-1 除以 x-1 得 x^{4}+2x^{3}+2x^{2}+2x+1。 求解结果等于 0 的方程式。

$$x^{4}+2x^{3}+2x^{2}+2x+1=0$$

依据“有理根定理”，多项式的所有有理根都是 \frac{p}{q} 的形式，其中，p 除以常数项 1，q 除以首项系数 1。 列出所有候选 \frac{p}{q}。

$$±1$$

通过尝试所有整数值(按绝对值从最小值开始)，查找一个类似的根。如果找不到整数根，请尝试分数。

$$x=-1$$

依据“因式定理”，x-k 是每个根 k 的多项式因数。 x^{4}+2x^{3}+2x^{2}+2x+1 除以 x+1 得 x^{3}+x^{2}+x+1。 求解结果等于 0 的方程式。

$$x^{3}+x^{2}+x+1=0$$

依据“有理根定理”，多项式的所有有理根都是 \frac{p}{q} 的形式，其中，p 除以常数项 1，q 除以首项系数 1。 列出所有候选 \frac{p}{q}。

$$±1$$

通过尝试所有整数值(按绝对值从最小值开始)，查找一个类似的根。如果找不到整数根，请尝试分数。

$$x=-1$$

依据“因式定理”，x-k 是每个根 k 的多项式因数。 x^{3}+x^{2}+x+1 除以 x+1 得 x^{2}+1。 求解结果等于 0 的方程式。

$$x^{2}+1=0$$

ax^{2}+bx+c=0 形式的所有方程式都可以使用二次公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 来求解。在二次公式中，用 a 替换 1、用 0 替换 b、用 1 替换 c。

$$x=\frac{0±\sqrt{0^{2}-4\times 1\times 1}}{2}$$

完成计算。

$$x=\frac{0±\sqrt{-4}}{2}$$

由于实数域中未定义负数的平方根，因此无解。

$$x\in \emptyset$$

列出所有找到的解决方案。

$$x=1 x=-1$$

求解 x 的值 (复数求解)

$$x=i$$

$$x=-i$$

$$x=-1$$

$$x=1$$