求解 x^2-x-1=16180

$${ x }^{ 2 } -x-1=16180$$

求解 x 的值

$$x = \frac{5 \sqrt{2589} + 1}{2} \approx 127.705542332$$

$$x=\frac{1-5\sqrt{2589}}{2}\approx -126.705542332$$

运用二次公式的步骤

形式为 ax^{2}+bx+c=0 的所有方程式均可求解，方法是使用二次公式来求解: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}。此二次公式可得到两个解，一个是当 ± 取加号时的解，另一个是取减号时的解。

$$x^{2}-x-1=16180$$

将等式的两边同时减去 16180。

$$x^{2}-x-1-16180=16180-16180$$

16180 减去它自己得 0。

$$x^{2}-x-1-16180=0$$

将 -1 减去 16180。

$$x^{2}-x-16181=0$$

此公式采用标准形式: ax^{2}+bx+c=0。在二次公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 中用 1 替换 a，-1 替换 b，并用 -16181 替换 c。

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\left(-16181\right)}}{2}$$

求 -4 与 -16181 的乘积。

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+64724}}{2}$$

将 64724 加上 1。

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{64725}}{2}$$

取 64725 的平方根。

$$x=\frac{-\left(-1\right)±5\sqrt{2589}}{2}$$

-1 的相反数是 1。

$$x=\frac{1±5\sqrt{2589}}{2}$$

现在 ± 为加号时求公式 x=\frac{1±5\sqrt{2589}}{2} 的解。 将 5\sqrt{2589} 加上 1。

$$x=\frac{5\sqrt{2589}+1}{2}$$

现在 ± 为减号时求公式 x=\frac{1±5\sqrt{2589}}{2} 的解。 将 1 减去 5\sqrt{2589}。

$$x=\frac{1-5\sqrt{2589}}{2}$$

现已求得方程式的解。

$$x=\frac{5\sqrt{2589}+1}{2} x=\frac{1-5\sqrt{2589}}{2}$$

使用配方法的步骤

这样的二次方程式可通过转换为完全平方形式来求解。要化为完全平方形式，等式必须先转换为 x^{2}+bx=c 的形式。

$$x^{2}-x-1=16180$$

在等式两边同时加 1。

$$x^{2}-x-1-\left(-1\right)=16180-\left(-1\right)$$

-1 减去它自己得 0。

$$x^{2}-x=16180-\left(-1\right)$$

将 16180 减去 -1。

$$x^{2}-x=16181$$

将 x 项的系数 -1 除以 2 得 -\frac{1}{2}。然后在等式两边同时加上 -\frac{1}{2} 的平方。这一运算步骤让等式的左边成为完全平方形式。

$$x^{2}-x+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=16181+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

对 -\frac{1}{2} 进行平方运算，方法是同时对该分数的分子和分母进行平方运算。

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=16181+\frac{1}{4}$$

将 \frac{1}{4} 加上 16181。

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{64725}{4}$$

因数 x^{2}-x+\frac{1}{4}。一般说来，当 x^{2}+bx+c 是一个平方数时，它始终可以分解为 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{64725}{4}$$

对方程两边同时取平方根。

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{64725}{4}}$$

化简。

$$x-\frac{1}{2}=\frac{5\sqrt{2589}}{2} x-\frac{1}{2}=-\frac{5\sqrt{2589}}{2}$$

在等式两边同时加 \frac{1}{2}。

$$x=\frac{5\sqrt{2589}+1}{2} x=\frac{1-5\sqrt{2589}}{2}$$