求解 x^2-7x-9=0

$${ x }^{ 2 } -7x-9=0$$

求解 x 的值

$$x = \frac{\sqrt{85} + 7}{2} \approx 8.109772229$$

$$x=\frac{7-\sqrt{85}}{2}\approx -1.109772229$$

运用二次公式的步骤

形式为 ax^{2}+bx+c=0 的所有方程式均可求解，方法是使用二次公式来求解: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}。此二次公式可得到两个解，一个是当 ± 取加号时的解，另一个是取减号时的解。

$$x^{2}-7x-9=0$$

此公式采用标准形式: ax^{2}+bx+c=0。在二次公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 中用 1 替换 a，-7 替换 b，并用 -9 替换 c。

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{\left(-7\right)^{2}-4\left(-9\right)}}{2}$$

对 -7 进行平方运算。

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-4\left(-9\right)}}{2}$$

求 -4 与 -9 的乘积。

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49+36}}{2}$$

将 36 加上 49。

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{85}}{2}$$

-7 的相反数是 7。

$$x=\frac{7±\sqrt{85}}{2}$$

现在 ± 为加号时求公式 x=\frac{7±\sqrt{85}}{2} 的解。 将 \sqrt{85} 加上 7。

$$x=\frac{\sqrt{85}+7}{2}$$

现在 ± 为减号时求公式 x=\frac{7±\sqrt{85}}{2} 的解。 将 7 减去 \sqrt{85}。

$$x=\frac{7-\sqrt{85}}{2}$$

现已求得方程式的解。

$$x=\frac{\sqrt{85}+7}{2} x=\frac{7-\sqrt{85}}{2}$$

使用配方法的步骤

这样的二次方程式可通过转换为完全平方形式来求解。要化为完全平方形式，等式必须先转换为 x^{2}+bx=c 的形式。

$$x^{2}-7x-9=0$$

在等式两边同时加 9。

$$x^{2}-7x-9-\left(-9\right)=-\left(-9\right)$$

-9 减去它自己得 0。

$$x^{2}-7x=-\left(-9\right)$$

将 0 减去 -9。

$$x^{2}-7x=9$$

将 x 项的系数 -7 除以 2 得 -\frac{7}{2}。然后在等式两边同时加上 -\frac{7}{2} 的平方。这一运算步骤让等式的左边成为完全平方形式。

$$x^{2}-7x+\left(-\frac{7}{2}\right)^{2}=9+\left(-\frac{7}{2}\right)^{2}$$

对 -\frac{7}{2} 进行平方运算，方法是同时对该分数的分子和分母进行平方运算。

$$x^{2}-7x+\frac{49}{4}=9+\frac{49}{4}$$

将 \frac{49}{4} 加上 9。

$$x^{2}-7x+\frac{49}{4}=\frac{85}{4}$$

对 x^{2}-7x+\frac{49}{4} 进行因式分解。一般而言，当 x^{2}+bx+c 为完全平方数时，总是可以因式分解为 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} 这一形式。

$$\left(x-\frac{7}{2}\right)^{2}=\frac{85}{4}$$

对方程两边同时取平方根。

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{85}{4}}$$

化简。

$$x-\frac{7}{2}=\frac{\sqrt{85}}{2} x-\frac{7}{2}=-\frac{\sqrt{85}}{2}$$

在等式两边同时加 \frac{7}{2}。

$$x=\frac{\sqrt{85}+7}{2} x=\frac{7-\sqrt{85}}{2}$$