求解 x^2-75x+285=0

$${ x }^{ 2 } -75x+285=0$$

求解 x 的值

$$x = \frac{\sqrt{4485} + 75}{2} \approx 70.985071301$$

$$x = \frac{75 - \sqrt{4485}}{2} \approx 4.014928699$$

运用二次公式的步骤

形式为 ax^{2}+bx+c=0 的所有方程式均可求解，方法是使用二次公式来求解: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}。此二次公式可得到两个解，一个是当 ± 取加号时的解，另一个是取减号时的解。

$$x^{2}-75x+285=0$$

此公式采用标准形式: ax^{2}+bx+c=0。在二次公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 中用 1 替换 a，-75 替换 b，并用 285 替换 c。

$$x=\frac{-\left(-75\right)±\sqrt{\left(-75\right)^{2}-4\times 285}}{2}$$

对 -75 进行平方运算。

$$x=\frac{-\left(-75\right)±\sqrt{5625-4\times 285}}{2}$$

求 -4 与 285 的乘积。

$$x=\frac{-\left(-75\right)±\sqrt{5625-1140}}{2}$$

将 -1140 加上 5625。

$$x=\frac{-\left(-75\right)±\sqrt{4485}}{2}$$

-75 的相反数是 75。

$$x=\frac{75±\sqrt{4485}}{2}$$

现在 ± 为加号时求公式 x=\frac{75±\sqrt{4485}}{2} 的解。 将 \sqrt{4485} 加上 75。

$$x=\frac{\sqrt{4485}+75}{2}$$

现在 ± 为减号时求公式 x=\frac{75±\sqrt{4485}}{2} 的解。 将 75 减去 \sqrt{4485}。

$$x=\frac{75-\sqrt{4485}}{2}$$

现已求得方程式的解。

$$x=\frac{\sqrt{4485}+75}{2} x=\frac{75-\sqrt{4485}}{2}$$

使用配方法的步骤

这样的二次方程式可通过转换为完全平方形式来求解。要化为完全平方形式，等式必须先转换为 x^{2}+bx=c 的形式。

$$x^{2}-75x+285=0$$

将等式的两边同时减去 285。

$$x^{2}-75x+285-285=-285$$

285 减去它自己得 0。

$$x^{2}-75x=-285$$

将 x 项的系数 -75 除以 2 得 -\frac{75}{2}。然后在等式两边同时加上 -\frac{75}{2} 的平方。这一运算步骤让等式的左边成为完全平方形式。

$$x^{2}-75x+\left(-\frac{75}{2}\right)^{2}=-285+\left(-\frac{75}{2}\right)^{2}$$

对 -\frac{75}{2} 进行平方运算，方法是同时对该分数的分子和分母进行平方运算。

$$x^{2}-75x+\frac{5625}{4}=-285+\frac{5625}{4}$$

将 \frac{5625}{4} 加上 -285。

$$x^{2}-75x+\frac{5625}{4}=\frac{4485}{4}$$

因数 x^{2}-75x+\frac{5625}{4}。一般说来，当 x^{2}+bx+c 是一个平方数时，它始终可以分解为 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(x-\frac{75}{2}\right)^{2}=\frac{4485}{4}$$

对方程两边同时取平方根。

$$\sqrt{\left(x-\frac{75}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{4485}{4}}$$

化简。

$$x-\frac{75}{2}=\frac{\sqrt{4485}}{2} x-\frac{75}{2}=-\frac{\sqrt{4485}}{2}$$

在等式两边同时加 \frac{75}{2}。

$$x=\frac{\sqrt{4485}+75}{2} x=\frac{75-\sqrt{4485}}{2}$$