求解 x^2-6x+11=0

$${ x }^{ 2 } -6x+11 = 0$$

求解 x 的值 (复数求解)

$$x=3+\sqrt{2}i\approx 3+1.414213562i$$

$$x=-\sqrt{2}i+3\approx 3-1.414213562i$$

运用二次公式的步骤

形式为 ax^{2}+bx+c=0 的所有方程式均可求解，方法是使用二次公式来求解: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}。此二次公式可得到两个解，一个是当 ± 取加号时的解，另一个是取减号时的解。

$$x^{2}-6x+11=0$$

此公式采用标准形式: ax^{2}+bx+c=0。在二次公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 中用 1 替换 a，-6 替换 b，并用 11 替换 c。

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{\left(-6\right)^{2}-4\times 11}}{2}$$

对 -6 进行平方运算。

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{36-4\times 11}}{2}$$

求 -4 与 11 的乘积。

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{36-44}}{2}$$

将 -44 加上 36。

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{-8}}{2}$$

取 -8 的平方根。

$$x=\frac{-\left(-6\right)±2\sqrt{2}i}{2}$$

-6 的相反数是 6。

$$x=\frac{6±2\sqrt{2}i}{2}$$

现在 ± 为加号时求公式 x=\frac{6±2\sqrt{2}i}{2} 的解。 将 2i\sqrt{2} 加上 6。

$$x=\frac{6+2\sqrt{2}i}{2}$$

6+2i\sqrt{2} 除以 2。

$$x=3+\sqrt{2}i$$

现在 ± 为减号时求公式 x=\frac{6±2\sqrt{2}i}{2} 的解。 将 6 减去 2i\sqrt{2}。

$$x=\frac{-2\sqrt{2}i+6}{2}$$

6-2i\sqrt{2} 除以 2。

$$x=-\sqrt{2}i+3$$

现已求得方程式的解。

$$x=3+\sqrt{2}i x=-\sqrt{2}i+3$$

使用配方法的步骤

这样的二次方程式可通过转换为完全平方形式来求解。要化为完全平方形式，等式必须先转换为 x^{2}+bx=c 的形式。

$$x^{2}-6x+11=0$$

将等式的两边同时减去 11。

$$x^{2}-6x+11-11=-11$$

11 减去它自己得 0。

$$x^{2}-6x=-11$$

将 x 项的系数 -6 除以 2 得 -3。然后在等式两边同时加上 -3 的平方。这一运算步骤让等式的左边成为完全平方形式。

$$x^{2}-6x+\left(-3\right)^{2}=-11+\left(-3\right)^{2}$$

对 -3 进行平方运算。

$$x^{2}-6x+9=-11+9$$

将 9 加上 -11。

$$x^{2}-6x+9=-2$$

对 x^{2}-6x+9 进行因式分解。一般而言，当 x^{2}+bx+c 为完全平方数时，总是可以因式分解为 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} 这一形式。

$$\left(x-3\right)^{2}=-2$$

对方程两边同时取平方根。

$$\sqrt{\left(x-3\right)^{2}}=\sqrt{-2}$$

化简。

$$x-3=\sqrt{2}i x-3=-\sqrt{2}i$$

在等式两边同时加 3。

$$x=3+\sqrt{2}i x=-\sqrt{2}i+3$$