求解 x^2-4x+1=0

$${ x }^{ 2 } -4x+1=0$$

求解 x 的值

$$x=\sqrt{3}+2\approx 3.732050808$$

$$x=2-\sqrt{3}\approx 0.267949192$$

运用二次公式的步骤

形式为 ax^{2}+bx+c=0 的所有方程式均可求解，方法是使用二次公式来求解: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}。此二次公式可得到两个解，一个是当 ± 取加号时的解，另一个是取减号时的解。

$$x^{2}-4x+1=0$$

此公式采用标准形式: ax^{2}+bx+c=0。在二次公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 中用 1 替换 a，-4 替换 b，并用 1 替换 c。

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4}}{2}$$

对 -4 进行平方运算。

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-4}}{2}$$

将 -4 加上 16。

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{12}}{2}$$

取 12 的平方根。

$$x=\frac{-\left(-4\right)±2\sqrt{3}}{2}$$

-4 的相反数是 4。

$$x=\frac{4±2\sqrt{3}}{2}$$

现在 ± 为加号时求公式 x=\frac{4±2\sqrt{3}}{2} 的解。 将 2\sqrt{3} 加上 4。

$$x=\frac{2\sqrt{3}+4}{2}$$

4+2\sqrt{3} 除以 2。

$$x=\sqrt{3}+2$$

现在 ± 为减号时求公式 x=\frac{4±2\sqrt{3}}{2} 的解。 将 4 减去 2\sqrt{3}。

$$x=\frac{4-2\sqrt{3}}{2}$$

4-2\sqrt{3} 除以 2。

$$x=2-\sqrt{3}$$

现已求得方程式的解。

$$x=\sqrt{3}+2 x=2-\sqrt{3}$$

使用配方法的步骤

这样的二次方程式可通过转换为完全平方形式来求解。要化为完全平方形式，等式必须先转换为 x^{2}+bx=c 的形式。

$$x^{2}-4x+1=0$$

将等式的两边同时减去 1。

$$x^{2}-4x+1-1=-1$$

1 减去它自己得 0。

$$x^{2}-4x=-1$$

将 x 项的系数 -4 除以 2 得 -2。然后在等式两边同时加上 -2 的平方。这一运算步骤让等式的左边成为完全平方形式。

$$x^{2}-4x+\left(-2\right)^{2}=-1+\left(-2\right)^{2}$$

对 -2 进行平方运算。

$$x^{2}-4x+4=-1+4$$

将 4 加上 -1。

$$x^{2}-4x+4=3$$

因数 x^{2}-4x+4。一般说来，当 x^{2}+bx+c 是一个平方数时，它始终可以分解为 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(x-2\right)^{2}=3$$

对方程两边同时取平方根。

$$\sqrt{\left(x-2\right)^{2}}=\sqrt{3}$$

化简。

$$x-2=\sqrt{3} x-2=-\sqrt{3}$$

在等式两边同时加 2。

$$x=\sqrt{3}+2 x=2-\sqrt{3}$$