求解 x^2-3x+1=0

$${ x }^{ 2 } -3x+1 = 0$$

求解 x 的值

$$x = \frac{\sqrt{5} + 3}{2} \approx 2.618033989$$

$$x=\frac{3-\sqrt{5}}{2}\approx 0.381966011$$

运用二次公式的步骤

形式为 ax^{2}+bx+c=0 的所有方程式均可求解，方法是使用二次公式来求解: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}。此二次公式可得到两个解，一个是当 ± 取加号时的解，另一个是取减号时的解。

$$x^{2}-3x+1=0$$

此公式采用标准形式: ax^{2}+bx+c=0。在二次公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 中用 1 替换 a，-3 替换 b，并用 1 替换 c。

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{\left(-3\right)^{2}-4}}{2}$$

对 -3 进行平方运算。

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-4}}{2}$$

将 -4 加上 9。

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{5}}{2}$$

-3 的相反数是 3。

$$x=\frac{3±\sqrt{5}}{2}$$

现在 ± 为加号时求公式 x=\frac{3±\sqrt{5}}{2} 的解。 将 \sqrt{5} 加上 3。

$$x=\frac{\sqrt{5}+3}{2}$$

现在 ± 为减号时求公式 x=\frac{3±\sqrt{5}}{2} 的解。 将 3 减去 \sqrt{5}。

$$x=\frac{3-\sqrt{5}}{2}$$

现已求得方程式的解。

$$x=\frac{\sqrt{5}+3}{2} x=\frac{3-\sqrt{5}}{2}$$

使用配方法的步骤

这样的二次方程式可通过转换为完全平方形式来求解。要化为完全平方形式，等式必须先转换为 x^{2}+bx=c 的形式。

$$x^{2}-3x+1=0$$

将等式的两边同时减去 1。

$$x^{2}-3x+1-1=-1$$

1 减去它自己得 0。

$$x^{2}-3x=-1$$

将 x 项的系数 -3 除以 2 得 -\frac{3}{2}。然后在等式两边同时加上 -\frac{3}{2} 的平方。这一运算步骤让等式的左边成为完全平方形式。

$$x^{2}-3x+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}=-1+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}$$

对 -\frac{3}{2} 进行平方运算，方法是同时对该分数的分子和分母进行平方运算。

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=-1+\frac{9}{4}$$

将 \frac{9}{4} 加上 -1。

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=\frac{5}{4}$$

因数 x^{2}-3x+\frac{9}{4}。一般说来，当 x^{2}+bx+c 是一个平方数时，它始终可以分解为 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{5}{4}$$

对方程两边同时取平方根。

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{5}{4}}$$

化简。

$$x-\frac{3}{2}=\frac{\sqrt{5}}{2} x-\frac{3}{2}=-\frac{\sqrt{5}}{2}$$

在等式两边同时加 \frac{3}{2}。

$$x=\frac{\sqrt{5}+3}{2} x=\frac{3-\sqrt{5}}{2}$$