求解 x^2-3x+1<0

$${ x }^{ 2 } -3x+1 < 0$$

求解 x 的值

$$x\in \left(\frac{3-\sqrt{5}}{2},\frac{\sqrt{5}+3}{2}\right)$$

运用二次公式的步骤

要对不等式求解，请对左边进行因式分解。 可使用变换式 ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) 对二次多项式进行因式分解，其中 x_{1} 和 x_{2} 是二次方程式 ax^{2}+bx+c=0 的解。

$$x^{2}-3x+1=0$$

ax^{2}+bx+c=0 形式的所有方程式都可以使用二次公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 来求解。在二次公式中，用 a 替换 1、用 -3 替换 b、用 1 替换 c。

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{\left(-3\right)^{2}-4\times 1\times 1}}{2}$$

完成计算。

$$x=\frac{3±\sqrt{5}}{2}$$

求 ± 为加号和 ± 为减号时方程式 x=\frac{3±\sqrt{5}}{2} 的解。

$$x=\frac{\sqrt{5}+3}{2} x=\frac{3-\sqrt{5}}{2}$$

使用获取的解改写不等式。

$$\left(x-\frac{\sqrt{5}+3}{2}\right)\left(x-\frac{3-\sqrt{5}}{2}\right)<0$$

若要使积为负，x-\frac{\sqrt{5}+3}{2} 和 x-\frac{3-\sqrt{5}}{2} 的正负号必须相反。 考虑 x-\frac{\sqrt{5}+3}{2} 为正，且 x-\frac{3-\sqrt{5}}{2} 为负的情况。

$$x-\frac{\sqrt{5}+3}{2}>0 x-\frac{3-\sqrt{5}}{2}<0$$

这不适用于任何 x。

$$x\in \emptyset$$

考虑 x-\frac{3-\sqrt{5}}{2} 为正，且 x-\frac{\sqrt{5}+3}{2} 为负的情况。

$$x-\frac{3-\sqrt{5}}{2}>0 x-\frac{\sqrt{5}+3}{2}<0$$

同时满足两个不等式的解是 x\in \left(\frac{3-\sqrt{5}}{2},\frac{\sqrt{5}+3}{2}\right)。

$$x\in \left(\frac{3-\sqrt{5}}{2},\frac{\sqrt{5}+3}{2}\right)$$

最终解是获得的解的并集。

$$x\in \left(\frac{3-\sqrt{5}}{2},\frac{\sqrt{5}+3}{2}\right)$$