求解 x^2-37x+259=0

$${ x }^{ 2 } -37x+259=0$$

求解 x 的值

$$x = \frac{3 \sqrt{37} + 37}{2} \approx 27.624143795$$

$$x = \frac{37 - 3 \sqrt{37}}{2} \approx 9.375856205$$

运用二次公式的步骤

形式为 ax^{2}+bx+c=0 的所有方程式均可求解，方法是使用二次公式来求解: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}。此二次公式可得到两个解，一个是当 ± 取加号时的解，另一个是取减号时的解。

$$x^{2}-37x+259=0$$

此公式采用标准形式: ax^{2}+bx+c=0。在二次公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 中用 1 替换 a，-37 替换 b，并用 259 替换 c。

$$x=\frac{-\left(-37\right)±\sqrt{\left(-37\right)^{2}-4\times 259}}{2}$$

对 -37 进行平方运算。

$$x=\frac{-\left(-37\right)±\sqrt{1369-4\times 259}}{2}$$

求 -4 与 259 的乘积。

$$x=\frac{-\left(-37\right)±\sqrt{1369-1036}}{2}$$

将 -1036 加上 1369。

$$x=\frac{-\left(-37\right)±\sqrt{333}}{2}$$

取 333 的平方根。

$$x=\frac{-\left(-37\right)±3\sqrt{37}}{2}$$

-37 的相反数是 37。

$$x=\frac{37±3\sqrt{37}}{2}$$

现在 ± 为加号时求公式 x=\frac{37±3\sqrt{37}}{2} 的解。 将 3\sqrt{37} 加上 37。

$$x=\frac{3\sqrt{37}+37}{2}$$

现在 ± 为减号时求公式 x=\frac{37±3\sqrt{37}}{2} 的解。 将 37 减去 3\sqrt{37}。

$$x=\frac{37-3\sqrt{37}}{2}$$

现已求得方程式的解。

$$x=\frac{3\sqrt{37}+37}{2} x=\frac{37-3\sqrt{37}}{2}$$

使用配方法的步骤

这样的二次方程式可通过转换为完全平方形式来求解。要化为完全平方形式，等式必须先转换为 x^{2}+bx=c 的形式。

$$x^{2}-37x+259=0$$

将等式的两边同时减去 259。

$$x^{2}-37x+259-259=-259$$

259 减去它自己得 0。

$$x^{2}-37x=-259$$

将 x 项的系数 -37 除以 2 得 -\frac{37}{2}。然后在等式两边同时加上 -\frac{37}{2} 的平方。这一运算步骤让等式的左边成为完全平方形式。

$$x^{2}-37x+\left(-\frac{37}{2}\right)^{2}=-259+\left(-\frac{37}{2}\right)^{2}$$

对 -\frac{37}{2} 进行平方运算，方法是同时对该分数的分子和分母进行平方运算。

$$x^{2}-37x+\frac{1369}{4}=-259+\frac{1369}{4}$$

将 \frac{1369}{4} 加上 -259。

$$x^{2}-37x+\frac{1369}{4}=\frac{333}{4}$$

因数 x^{2}-37x+\frac{1369}{4}。一般说来，当 x^{2}+bx+c 是一个平方数时，它始终可以分解为 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(x-\frac{37}{2}\right)^{2}=\frac{333}{4}$$

对方程两边同时取平方根。

$$\sqrt{\left(x-\frac{37}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{333}{4}}$$

化简。

$$x-\frac{37}{2}=\frac{3\sqrt{37}}{2} x-\frac{37}{2}=-\frac{3\sqrt{37}}{2}$$

在等式两边同时加 \frac{37}{2}。

$$x=\frac{3\sqrt{37}+37}{2} x=\frac{37-3\sqrt{37}}{2}$$