求解 x^2-13x-42=0

$${ x }^{ 2 } -13x-42=0$$

求解 x 的值

$$x = \frac{\sqrt{337} + 13}{2} \approx 15.678779875$$

$$x=\frac{13-\sqrt{337}}{2}\approx -2.678779875$$

运用二次公式的步骤

形式为 ax^{2}+bx+c=0 的所有方程式均可求解，方法是使用二次公式来求解: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}。此二次公式可得到两个解，一个是当 ± 取加号时的解，另一个是取减号时的解。

$$x^{2}-13x-42=0$$

此公式采用标准形式: ax^{2}+bx+c=0。在二次公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 中用 1 替换 a，-13 替换 b，并用 -42 替换 c。

$$x=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{\left(-13\right)^{2}-4\left(-42\right)}}{2}$$

对 -13 进行平方运算。

$$x=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{169-4\left(-42\right)}}{2}$$

求 -4 与 -42 的乘积。

$$x=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{169+168}}{2}$$

将 168 加上 169。

$$x=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{337}}{2}$$

-13 的相反数是 13。

$$x=\frac{13±\sqrt{337}}{2}$$

现在 ± 为加号时求公式 x=\frac{13±\sqrt{337}}{2} 的解。 将 \sqrt{337} 加上 13。

$$x=\frac{\sqrt{337}+13}{2}$$

现在 ± 为减号时求公式 x=\frac{13±\sqrt{337}}{2} 的解。 将 13 减去 \sqrt{337}。

$$x=\frac{13-\sqrt{337}}{2}$$

现已求得方程式的解。

$$x=\frac{\sqrt{337}+13}{2} x=\frac{13-\sqrt{337}}{2}$$

使用配方法的步骤

这样的二次方程式可通过转换为完全平方形式来求解。要化为完全平方形式，等式必须先转换为 x^{2}+bx=c 的形式。

$$x^{2}-13x-42=0$$

在等式两边同时加 42。

$$x^{2}-13x-42-\left(-42\right)=-\left(-42\right)$$

-42 减去它自己得 0。

$$x^{2}-13x=-\left(-42\right)$$

将 0 减去 -42。

$$x^{2}-13x=42$$

将 x 项的系数 -13 除以 2 得 -\frac{13}{2}。然后在等式两边同时加上 -\frac{13}{2} 的平方。这一运算步骤让等式的左边成为完全平方形式。

$$x^{2}-13x+\left(-\frac{13}{2}\right)^{2}=42+\left(-\frac{13}{2}\right)^{2}$$

对 -\frac{13}{2} 进行平方运算，方法是同时对该分数的分子和分母进行平方运算。

$$x^{2}-13x+\frac{169}{4}=42+\frac{169}{4}$$

将 \frac{169}{4} 加上 42。

$$x^{2}-13x+\frac{169}{4}=\frac{337}{4}$$

因数 x^{2}-13x+\frac{169}{4}。一般说来，当 x^{2}+bx+c 是一个平方数时，它始终可以分解为 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(x-\frac{13}{2}\right)^{2}=\frac{337}{4}$$

对方程两边同时取平方根。

$$\sqrt{\left(x-\frac{13}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{337}{4}}$$

化简。

$$x-\frac{13}{2}=\frac{\sqrt{337}}{2} x-\frac{13}{2}=-\frac{\sqrt{337}}{2}$$

在等式两边同时加 \frac{13}{2}。

$$x=\frac{\sqrt{337}+13}{2} x=\frac{13-\sqrt{337}}{2}$$