求解 x^2-(7+x/2)((7+x/2)+x)=11

$${ x }^{ 2 } -( \frac{ 7+x }{ 2 } )(( \frac{ 7+x }{ 2 } )+x)=11$$

求解 x 的值

$$x=-3$$

$$x=31$$

运用二次公式的步骤

将方程式的两边同时乘以 2。

$$2x^{2}-\left(7+x\right)\left(\frac{7+x}{2}+x\right)=22$$

使用分配律将 7+x 乘以 \frac{7+x}{2}+x。

$$2x^{2}-\left(7\times \frac{7+x}{2}+7x+x\times \frac{7+x}{2}+x^{2}\right)=22$$

将 7\times \frac{7+x}{2} 化为简分数。

$$2x^{2}-\left(\frac{7\left(7+x\right)}{2}+7x+x\times \frac{7+x}{2}+x^{2}\right)=22$$

将 x\times \frac{7+x}{2} 化为简分数。

$$2x^{2}-\left(\frac{7\left(7+x\right)}{2}+7x+\frac{x\left(7+x\right)}{2}+x^{2}\right)=22$$

由于\frac{7\left(7+x\right)}{2}和\frac{x\left(7+x\right)}{2}具有相同的分母，可通过分子相加来求和。

$$2x^{2}-\left(\frac{7\left(7+x\right)+x\left(7+x\right)}{2}+7x+x^{2}\right)=22$$

完成 7\left(7+x\right)+x\left(7+x\right) 中的乘法运算。

$$2x^{2}-\left(\frac{49+7x+7x+x^{2}}{2}+7x+x^{2}\right)=22$$

合并 49+7x+7x+x^{2} 中的项。

$$2x^{2}-\left(\frac{49+14x+x^{2}}{2}+7x+x^{2}\right)=22$$

要查找 \frac{49+14x+x^{2}}{2}+7x+x^{2} 的相反数，请查找每一项的相反数。

$$2x^{2}-\frac{49+14x+x^{2}}{2}-7x-x^{2}=22$$

合并 2x^{2} 和 -x^{2}，得到 x^{2}。

$$x^{2}-\frac{49+14x+x^{2}}{2}-7x=22$$

49+14x+x^{2} 的每项除以 2 得 \frac{49}{2}+7x+\frac{1}{2}x^{2}。

$$x^{2}-\left(\frac{49}{2}+7x+\frac{1}{2}x^{2}\right)-7x=22$$

要查找 \frac{49}{2}+7x+\frac{1}{2}x^{2} 的相反数，请查找每一项的相反数。

$$x^{2}-\frac{49}{2}-7x-\frac{1}{2}x^{2}-7x=22$$

合并 x^{2} 和 -\frac{1}{2}x^{2}，得到 \frac{1}{2}x^{2}。

$$\frac{1}{2}x^{2}-\frac{49}{2}-7x-7x=22$$

合并 -7x 和 -7x，得到 -14x。

$$\frac{1}{2}x^{2}-\frac{49}{2}-14x=22$$

将方程式两边同时减去 22。

$$\frac{1}{2}x^{2}-\frac{49}{2}-14x-22=0$$

将 -\frac{49}{2} 减去 22，得到 -\frac{93}{2}。

$$\frac{1}{2}x^{2}-\frac{93}{2}-14x=0$$

形式为 ax^{2}+bx+c=0 的所有方程式均可求解，方法是使用二次公式来求解: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}。此二次公式可得到两个解，一个是当 ± 取加号时的解，另一个是取减号时的解。

$$\frac{1}{2}x^{2}-14x-\frac{93}{2}=0$$

此公式采用标准形式: ax^{2}+bx+c=0。在二次公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 中用 \frac{1}{2} 替换 a，-14 替换 b，并用 -\frac{93}{2} 替换 c。

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{\left(-14\right)^{2}-4\times \frac{1}{2}\left(-\frac{93}{2}\right)}}{2\times \frac{1}{2}}$$

对 -14 进行平方运算。

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-4\times \frac{1}{2}\left(-\frac{93}{2}\right)}}{2\times \frac{1}{2}}$$

求 -4 与 \frac{1}{2} 的乘积。

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-2\left(-\frac{93}{2}\right)}}{2\times \frac{1}{2}}$$

求 -2 与 -\frac{93}{2} 的乘积。

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196+93}}{2\times \frac{1}{2}}$$

将 93 加上 196。

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{289}}{2\times \frac{1}{2}}$$

取 289 的平方根。

$$x=\frac{-\left(-14\right)±17}{2\times \frac{1}{2}}$$

-14 的相反数是 14。

$$x=\frac{14±17}{2\times \frac{1}{2}}$$

求 2 与 \frac{1}{2} 的乘积。

$$x=\frac{14±17}{1}$$

现在 ± 为加号时求公式 x=\frac{14±17}{1} 的解。 将 17 加上 14。

$$x=\frac{31}{1}$$

31 除以 1。

$$x=31$$

现在 ± 为减号时求公式 x=\frac{14±17}{1} 的解。 将 14 减去 17。

$$x=-\frac{3}{1}$$

-3 除以 1。

$$x=-3$$

现已求得方程式的解。

$$x=31 x=-3$$

使用配方法的步骤

将方程式的两边同时乘以 2。

$$2x^{2}-\left(7+x\right)\left(\frac{7+x}{2}+x\right)=22$$

使用分配律将 7+x 乘以 \frac{7+x}{2}+x。

$$2x^{2}-\left(7\times \frac{7+x}{2}+7x+x\times \frac{7+x}{2}+x^{2}\right)=22$$

将 7\times \frac{7+x}{2} 化为简分数。

$$2x^{2}-\left(\frac{7\left(7+x\right)}{2}+7x+x\times \frac{7+x}{2}+x^{2}\right)=22$$

将 x\times \frac{7+x}{2} 化为简分数。

$$2x^{2}-\left(\frac{7\left(7+x\right)}{2}+7x+\frac{x\left(7+x\right)}{2}+x^{2}\right)=22$$

由于\frac{7\left(7+x\right)}{2}和\frac{x\left(7+x\right)}{2}具有相同的分母，可通过分子相加来求和。

$$2x^{2}-\left(\frac{7\left(7+x\right)+x\left(7+x\right)}{2}+7x+x^{2}\right)=22$$

完成 7\left(7+x\right)+x\left(7+x\right) 中的乘法运算。

$$2x^{2}-\left(\frac{49+7x+7x+x^{2}}{2}+7x+x^{2}\right)=22$$

合并 49+7x+7x+x^{2} 中的项。

$$2x^{2}-\left(\frac{49+14x+x^{2}}{2}+7x+x^{2}\right)=22$$

要查找 \frac{49+14x+x^{2}}{2}+7x+x^{2} 的相反数，请查找每一项的相反数。

$$2x^{2}-\frac{49+14x+x^{2}}{2}-7x-x^{2}=22$$

合并 2x^{2} 和 -x^{2}，得到 x^{2}。

$$x^{2}-\frac{49+14x+x^{2}}{2}-7x=22$$

49+14x+x^{2} 的每项除以 2 得 \frac{49}{2}+7x+\frac{1}{2}x^{2}。

$$x^{2}-\left(\frac{49}{2}+7x+\frac{1}{2}x^{2}\right)-7x=22$$

要查找 \frac{49}{2}+7x+\frac{1}{2}x^{2} 的相反数，请查找每一项的相反数。

$$x^{2}-\frac{49}{2}-7x-\frac{1}{2}x^{2}-7x=22$$

合并 x^{2} 和 -\frac{1}{2}x^{2}，得到 \frac{1}{2}x^{2}。

$$\frac{1}{2}x^{2}-\frac{49}{2}-7x-7x=22$$

合并 -7x 和 -7x，得到 -14x。

$$\frac{1}{2}x^{2}-\frac{49}{2}-14x=22$$

将 \frac{49}{2} 添加到两侧。

$$\frac{1}{2}x^{2}-14x=22+\frac{49}{2}$$

22 与 \frac{49}{2} 相加，得到 \frac{93}{2}。

$$\frac{1}{2}x^{2}-14x=\frac{93}{2}$$

将两边同时乘以 2。

$$\frac{\frac{1}{2}x^{2}-14x}{\frac{1}{2}}=\frac{\frac{93}{2}}{\frac{1}{2}}$$

除以 \frac{1}{2} 是乘以 \frac{1}{2} 的逆运算。

$$x^{2}+\left(-\frac{14}{\frac{1}{2}}\right)x=\frac{\frac{93}{2}}{\frac{1}{2}}$$

-14 除以 \frac{1}{2} 的计算方法是用 -14 乘以 \frac{1}{2} 的倒数。

$$x^{2}-28x=\frac{\frac{93}{2}}{\frac{1}{2}}$$

\frac{93}{2} 除以 \frac{1}{2} 的计算方法是用 \frac{93}{2} 乘以 \frac{1}{2} 的倒数。

$$x^{2}-28x=93$$

将 x 项的系数 -28 除以 2 得 -14。然后在等式两边同时加上 -14 的平方。这一运算步骤让等式的左边成为完全平方形式。

$$x^{2}-28x+\left(-14\right)^{2}=93+\left(-14\right)^{2}$$

对 -14 进行平方运算。

$$x^{2}-28x+196=93+196$$

将 196 加上 93。

$$x^{2}-28x+196=289$$

对 x^{2}-28x+196 进行因式分解。一般而言，当 x^{2}+bx+c 为完全平方数时，总是可以因式分解为 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} 这一形式。

$$\left(x-14\right)^{2}=289$$

对方程两边同时取平方根。

$$\sqrt{\left(x-14\right)^{2}}=\sqrt{289}$$

化简。

$$x-14=17 x-14=-17$$

在等式两边同时加 14。

$$x=31 x=-3$$