求解 x^2+x+19=0

$${ x }^{ 2 } +x+19=0$$

求解 x 的值 (复数求解)

$$x=\frac{-1+5\sqrt{3}i}{2}\approx -0.5+4.330127019i$$

$$x=\frac{-5\sqrt{3}i-1}{2}\approx -0.5-4.330127019i$$

运用二次公式的步骤

形式为 ax^{2}+bx+c=0 的所有方程式均可求解，方法是使用二次公式来求解: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}。此二次公式可得到两个解，一个是当 ± 取加号时的解，另一个是取减号时的解。

$$x^{2}+x+19=0$$

此公式采用标准形式: ax^{2}+bx+c=0。在二次公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 中用 1 替换 a，1 替换 b，并用 19 替换 c。

$$x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\times 19}}{2}$$

对 1 进行平方运算。

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-4\times 19}}{2}$$

求 -4 与 19 的乘积。

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-76}}{2}$$

将 -76 加上 1。

$$x=\frac{-1±\sqrt{-75}}{2}$$

取 -75 的平方根。

$$x=\frac{-1±5\sqrt{3}i}{2}$$

现在 ± 为加号时求公式 x=\frac{-1±5\sqrt{3}i}{2} 的解。 将 5i\sqrt{3} 加上 -1。

$$x=\frac{-1+5\sqrt{3}i}{2}$$

现在 ± 为减号时求公式 x=\frac{-1±5\sqrt{3}i}{2} 的解。 将 -1 减去 5i\sqrt{3}。

$$x=\frac{-5\sqrt{3}i-1}{2}$$

现已求得方程式的解。

$$x=\frac{-1+5\sqrt{3}i}{2} x=\frac{-5\sqrt{3}i-1}{2}$$

使用配方法的步骤

这样的二次方程式可通过转换为完全平方形式来求解。要化为完全平方形式，等式必须先转换为 x^{2}+bx=c 的形式。

$$x^{2}+x+19=0$$

将等式的两边同时减去 19。

$$x^{2}+x+19-19=-19$$

19 减去它自己得 0。

$$x^{2}+x=-19$$

将 x 项的系数 1 除以 2 得 \frac{1}{2}。然后在等式两边同时加上 \frac{1}{2} 的平方。这一运算步骤让等式的左边成为完全平方形式。

$$x^{2}+x+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=-19+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$$

对 \frac{1}{2} 进行平方运算，方法是同时对该分数的分子和分母进行平方运算。

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=-19+\frac{1}{4}$$

将 \frac{1}{4} 加上 -19。

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=-\frac{75}{4}$$

因数 x^{2}+x+\frac{1}{4}。一般说来，当 x^{2}+bx+c 是一个平方数时，它始终可以分解为 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}=-\frac{75}{4}$$

对方程两边同时取平方根。

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{75}{4}}$$

化简。

$$x+\frac{1}{2}=\frac{5\sqrt{3}i}{2} x+\frac{1}{2}=-\frac{5\sqrt{3}i}{2}$$

将等式的两边同时减去 \frac{1}{2}。

$$x=\frac{-1+5\sqrt{3}i}{2} x=\frac{-5\sqrt{3}i-1}{2}$$