求解 x^2+x+1=0

$${ x }^{ 2 } +x+1 = 0$$

求解 x 的值 (复数求解)

$$x=\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}\approx -0.5+0.866025404i$$

$$x=\frac{-\sqrt{3}i-1}{2}\approx -0.5-0.866025404i$$

运用二次公式的步骤

形式为 ax^{2}+bx+c=0 的所有方程式均可求解，方法是使用二次公式来求解: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}。此二次公式可得到两个解，一个是当 ± 取加号时的解，另一个是取减号时的解。

$$x^{2}+x+1=0$$

此公式采用标准形式: ax^{2}+bx+c=0。在二次公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 中用 1 替换 a，1 替换 b，并用 1 替换 c。

$$x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4}}{2}$$

对 1 进行平方运算。

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-4}}{2}$$

将 -4 加上 1。

$$x=\frac{-1±\sqrt{-3}}{2}$$

取 -3 的平方根。

$$x=\frac{-1±\sqrt{3}i}{2}$$

现在 ± 为加号时求公式 x=\frac{-1±\sqrt{3}i}{2} 的解。 将 i\sqrt{3} 加上 -1。

$$x=\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}$$

现在 ± 为减号时求公式 x=\frac{-1±\sqrt{3}i}{2} 的解。 将 -1 减去 i\sqrt{3}。

$$x=\frac{-\sqrt{3}i-1}{2}$$

现已求得方程式的解。

$$x=\frac{-1+\sqrt{3}i}{2} x=\frac{-\sqrt{3}i-1}{2}$$

使用配方法的步骤

这样的二次方程式可通过转换为完全平方形式来求解。要化为完全平方形式，等式必须先转换为 x^{2}+bx=c 的形式。

$$x^{2}+x+1=0$$

将等式的两边同时减去 1。

$$x^{2}+x+1-1=-1$$

1 减去它自己得 0。

$$x^{2}+x=-1$$

将 x 项的系数 1 除以 2 得 \frac{1}{2}。然后在等式两边同时加上 \frac{1}{2} 的平方。这一运算步骤让等式的左边成为完全平方形式。

$$x^{2}+x+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=-1+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$$

对 \frac{1}{2} 进行平方运算，方法是同时对该分数的分子和分母进行平方运算。

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=-1+\frac{1}{4}$$

将 \frac{1}{4} 加上 -1。

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=-\frac{3}{4}$$

对 x^{2}+x+\frac{1}{4} 进行因式分解。一般而言，当 x^{2}+bx+c 为完全平方数时，总是可以因式分解为 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} 这一形式。

$$\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}=-\frac{3}{4}$$

对方程两边同时取平方根。

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{3}{4}}$$

化简。

$$x+\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{3}i}{2} x+\frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{3}i}{2}$$

将等式的两边同时减去 \frac{1}{2}。

$$x=\frac{-1+\sqrt{3}i}{2} x=\frac{-\sqrt{3}i-1}{2}$$