求解 x^2+3x-65=10

$${ x }^{ 2 } +3x-65=10$$

求解 x 的值

$$x = \frac{\sqrt{309} - 3}{2} \approx 7.289197916$$

$$x=\frac{-\sqrt{309}-3}{2}\approx -10.289197916$$

运用二次公式的步骤

形式为 ax^{2}+bx+c=0 的所有方程式均可求解，方法是使用二次公式来求解: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}。此二次公式可得到两个解，一个是当 ± 取加号时的解，另一个是取减号时的解。

$$x^{2}+3x-65=10$$

将等式的两边同时减去 10。

$$x^{2}+3x-65-10=10-10$$

10 减去它自己得 0。

$$x^{2}+3x-65-10=0$$

将 -65 减去 10。

$$x^{2}+3x-75=0$$

此公式采用标准形式: ax^{2}+bx+c=0。在二次公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 中用 1 替换 a，3 替换 b，并用 -75 替换 c。

$$x=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\left(-75\right)}}{2}$$

对 3 进行平方运算。

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-4\left(-75\right)}}{2}$$

求 -4 与 -75 的乘积。

$$x=\frac{-3±\sqrt{9+300}}{2}$$

将 300 加上 9。

$$x=\frac{-3±\sqrt{309}}{2}$$

现在 ± 为加号时求公式 x=\frac{-3±\sqrt{309}}{2} 的解。 将 \sqrt{309} 加上 -3。

$$x=\frac{\sqrt{309}-3}{2}$$

现在 ± 为减号时求公式 x=\frac{-3±\sqrt{309}}{2} 的解。 将 -3 减去 \sqrt{309}。

$$x=\frac{-\sqrt{309}-3}{2}$$

现已求得方程式的解。

$$x=\frac{\sqrt{309}-3}{2} x=\frac{-\sqrt{309}-3}{2}$$

使用配方法的步骤

这样的二次方程式可通过转换为完全平方形式来求解。要化为完全平方形式，等式必须先转换为 x^{2}+bx=c 的形式。

$$x^{2}+3x-65=10$$

在等式两边同时加 65。

$$x^{2}+3x-65-\left(-65\right)=10-\left(-65\right)$$

-65 减去它自己得 0。

$$x^{2}+3x=10-\left(-65\right)$$

将 10 减去 -65。

$$x^{2}+3x=75$$

将 x 项的系数 3 除以 2 得 \frac{3}{2}。然后在等式两边同时加上 \frac{3}{2} 的平方。这一运算步骤让等式的左边成为完全平方形式。

$$x^{2}+3x+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}=75+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}$$

对 \frac{3}{2} 进行平方运算，方法是同时对该分数的分子和分母进行平方运算。

$$x^{2}+3x+\frac{9}{4}=75+\frac{9}{4}$$

将 \frac{9}{4} 加上 75。

$$x^{2}+3x+\frac{9}{4}=\frac{309}{4}$$

对 x^{2}+3x+\frac{9}{4} 进行因式分解。一般而言，当 x^{2}+bx+c 为完全平方数时，总是可以因式分解为 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} 这一形式。

$$\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{309}{4}$$

对方程两边同时取平方根。

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{309}{4}}$$

化简。

$$x+\frac{3}{2}=\frac{\sqrt{309}}{2} x+\frac{3}{2}=-\frac{\sqrt{309}}{2}$$

将等式的两边同时减去 \frac{3}{2}。

$$x=\frac{\sqrt{309}-3}{2} x=\frac{-\sqrt{309}-3}{2}$$