求解 x^2+2/3x-1/6=0

$${ x }^{ 2 } + \frac{ 2 }{ 3 } x- \frac{ 1 }{ 6 } =0$$

求解 x 的值

$$x=\frac{\sqrt{10}}{6}-\frac{1}{3}\approx 0.193712943$$

$$x=-\frac{\sqrt{10}}{6}-\frac{1}{3}\approx -0.86037961$$

运用二次公式的步骤

形式为 ax^{2}+bx+c=0 的所有方程式均可求解，方法是使用二次公式来求解: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}。此二次公式可得到两个解，一个是当 ± 取加号时的解，另一个是取减号时的解。

$$x^{2}+\frac{2}{3}x-\frac{1}{6}=0$$

此公式采用标准形式: ax^{2}+bx+c=0。在二次公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 中用 1 替换 a，\frac{2}{3} 替换 b，并用 -\frac{1}{6} 替换 c。

$$x=\frac{-\frac{2}{3}±\sqrt{\left(\frac{2}{3}\right)^{2}-4\left(-\frac{1}{6}\right)}}{2}$$

对 \frac{2}{3} 进行平方运算，方法是同时对该分数的分子和分母进行平方运算。

$$x=\frac{-\frac{2}{3}±\sqrt{\frac{4}{9}-4\left(-\frac{1}{6}\right)}}{2}$$

求 -4 与 -\frac{1}{6} 的乘积。

$$x=\frac{-\frac{2}{3}±\sqrt{\frac{4}{9}+\frac{2}{3}}}{2}$$

将 \frac{2}{3} 加上 \frac{4}{9}，计算方法是寻找公分母，加上各自的分子。然后将所得分数进行约分化为最简分数。

$$x=\frac{-\frac{2}{3}±\sqrt{\frac{10}{9}}}{2}$$

取 \frac{10}{9} 的平方根。

$$x=\frac{-\frac{2}{3}±\frac{\sqrt{10}}{3}}{2}$$

现在 ± 为加号时求公式 x=\frac{-\frac{2}{3}±\frac{\sqrt{10}}{3}}{2} 的解。 将 \frac{\sqrt{10}}{3} 加上 -\frac{2}{3}。

$$x=\frac{\sqrt{10}-2}{2\times 3}$$

\frac{-2+\sqrt{10}}{3} 除以 2。

$$x=\frac{\sqrt{10}}{6}-\frac{1}{3}$$

现在 ± 为减号时求公式 x=\frac{-\frac{2}{3}±\frac{\sqrt{10}}{3}}{2} 的解。 将 -\frac{2}{3} 减去 \frac{\sqrt{10}}{3}。

$$x=\frac{-\sqrt{10}-2}{2\times 3}$$

\frac{-2-\sqrt{10}}{3} 除以 2。

$$x=-\frac{\sqrt{10}}{6}-\frac{1}{3}$$

现已求得方程式的解。

$$x=\frac{\sqrt{10}}{6}-\frac{1}{3} x=-\frac{\sqrt{10}}{6}-\frac{1}{3}$$

使用配方法的步骤

这样的二次方程式可通过转换为完全平方形式来求解。要化为完全平方形式，等式必须先转换为 x^{2}+bx=c 的形式。

$$x^{2}+\frac{2}{3}x-\frac{1}{6}=0$$

在等式两边同时加 \frac{1}{6}。

$$x^{2}+\frac{2}{3}x-\frac{1}{6}-\left(-\frac{1}{6}\right)=-\left(-\frac{1}{6}\right)$$

-\frac{1}{6} 减去它自己得 0。

$$x^{2}+\frac{2}{3}x=-\left(-\frac{1}{6}\right)$$

将 0 减去 -\frac{1}{6}。

$$x^{2}+\frac{2}{3}x=\frac{1}{6}$$

将 x 项的系数 \frac{2}{3} 除以 2 得 \frac{1}{3}。然后在等式两边同时加上 \frac{1}{3} 的平方。这一运算步骤让等式的左边成为完全平方形式。

$$x^{2}+\frac{2}{3}x+\left(\frac{1}{3}\right)^{2}=\frac{1}{6}+\left(\frac{1}{3}\right)^{2}$$

对 \frac{1}{3} 进行平方运算，方法是同时对该分数的分子和分母进行平方运算。

$$x^{2}+\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=\frac{1}{6}+\frac{1}{9}$$

将 \frac{1}{9} 加上 \frac{1}{6}，计算方法是寻找公分母，加上各自的分子。然后将所得分数进行约分化为最简分数。

$$x^{2}+\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=\frac{5}{18}$$

因数 x^{2}+\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}。一般说来，当 x^{2}+bx+c 是一个平方数时，它始终可以分解为 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(x+\frac{1}{3}\right)^{2}=\frac{5}{18}$$

对方程两边同时取平方根。

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{5}{18}}$$

化简。

$$x+\frac{1}{3}=\frac{\sqrt{10}}{6} x+\frac{1}{3}=-\frac{\sqrt{10}}{6}$$

将等式的两边同时减去 \frac{1}{3}。

$$x=\frac{\sqrt{10}}{6}-\frac{1}{3} x=-\frac{\sqrt{10}}{6}-\frac{1}{3}$$