求解 t^2-109t+900=0

$${ t }^{ 2 } -109t+900 = 0$$

求解 t 的值

$$t=9$$

$$t=100$$

因式分解的步骤

若要求解公式，请使用公式 t^{2}+\left(a+b\right)t+ab=\left(t+a\right)\left(t+b\right) 因式分解 t^{2}-109t+900。 若要查找 a 和 b, 请设置要解决的系统。

$$a+b=-109 ab=900$$

由于 ab 是正数, a 并且 b 具有相同的符号。 因为 a+b 是负值, 所以 a 和 b 均为负。 列出提供产品 900 的所有此类整数对。

$$-1,-900 -2,-450 -3,-300 -4,-225 -5,-180 -6,-150 -9,-100 -10,-90 -12,-75 -15,-60 -18,-50 -20,-45 -25,-36 -30,-30$$

计算每对之和。

$$-1-900=-901 -2-450=-452 -3-300=-303 -4-225=-229 -5-180=-185 -6-150=-156 -9-100=-109 -10-90=-100 -12-75=-87 -15-60=-75 -18-50=-68 -20-45=-65 -25-36=-61 -30-30=-60$$

该解答是总和为 -109 的对。

$$a=-100 b=-9$$

使用获取的值 \left(t+a\right)\left(t+b\right) 重写因式分解表达式。

$$\left(t-100\right)\left(t-9\right)$$

若要查找公式解决方案, 请解决 t-100=0 和 t-9=0。

$$t=100 t=9$$

通过分组进行因式分解的步骤

要求解公式，请通过分组对左侧进行因式分解。首先，左侧需要重写成 t^{2}+at+bt+900。 若要查找 a 和 b, 请设置要解决的系统。

$$a+b=-109 ab=1\times 900=900$$

由于 ab 是正数, a 并且 b 具有相同的符号。 因为 a+b 是负值, 所以 a 和 b 均为负。 列出提供产品 900 的所有此类整数对。

$$-1,-900 -2,-450 -3,-300 -4,-225 -5,-180 -6,-150 -9,-100 -10,-90 -12,-75 -15,-60 -18,-50 -20,-45 -25,-36 -30,-30$$

计算每对之和。

$$-1-900=-901 -2-450=-452 -3-300=-303 -4-225=-229 -5-180=-185 -6-150=-156 -9-100=-109 -10-90=-100 -12-75=-87 -15-60=-75 -18-50=-68 -20-45=-65 -25-36=-61 -30-30=-60$$

该解答是总和为 -109 的对。

$$a=-100 b=-9$$

将 t^{2}-109t+900 改写为 \left(t^{2}-100t\right)+\left(-9t+900\right)。

$$\left(t^{2}-100t\right)+\left(-9t+900\right)$$

将 t 放在第二个组中的第一个和 -9 中。

$$t\left(t-100\right)-9\left(t-100\right)$$

通过使用分布式属性分解出共同项 t-100。

$$\left(t-100\right)\left(t-9\right)$$

若要查找公式解决方案, 请解决 t-100=0 和 t-9=0。

$$t=100 t=9$$

运用二次公式的步骤

形式为 ax^{2}+bx+c=0 的所有方程式均可求解，方法是使用二次公式来求解: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}。此二次公式可得到两个解，一个是当 ± 取加号时的解，另一个是取减号时的解。

$$t^{2}-109t+900=0$$

此公式采用标准形式: ax^{2}+bx+c=0。在二次公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 中用 1 替换 a，-109 替换 b，并用 900 替换 c。

$$t=\frac{-\left(-109\right)±\sqrt{\left(-109\right)^{2}-4\times 900}}{2}$$

对 -109 进行平方运算。

$$t=\frac{-\left(-109\right)±\sqrt{11881-4\times 900}}{2}$$

求 -4 与 900 的乘积。

$$t=\frac{-\left(-109\right)±\sqrt{11881-3600}}{2}$$

将 -3600 加上 11881。

$$t=\frac{-\left(-109\right)±\sqrt{8281}}{2}$$

取 8281 的平方根。

$$t=\frac{-\left(-109\right)±91}{2}$$

-109 的相反数是 109。

$$t=\frac{109±91}{2}$$

现在 ± 为加号时求公式 t=\frac{109±91}{2} 的解。 将 91 加上 109。

$$t=\frac{200}{2}$$

200 除以 2。

$$t=100$$

现在 ± 为减号时求公式 t=\frac{109±91}{2} 的解。 将 109 减去 91。

$$t=\frac{18}{2}$$

18 除以 2。

$$t=9$$

现已求得方程式的解。

$$t=100 t=9$$

使用配方法的步骤

这样的二次方程式可通过转换为完全平方形式来求解。要化为完全平方形式，等式必须先转换为 x^{2}+bx=c 的形式。

$$t^{2}-109t+900=0$$

将等式的两边同时减去 900。

$$t^{2}-109t+900-900=-900$$

900 减去它自己得 0。

$$t^{2}-109t=-900$$

将 x 项的系数 -109 除以 2 得 -\frac{109}{2}。然后在等式两边同时加上 -\frac{109}{2} 的平方。这一运算步骤让等式的左边成为完全平方形式。

$$t^{2}-109t+\left(-\frac{109}{2}\right)^{2}=-900+\left(-\frac{109}{2}\right)^{2}$$

对 -\frac{109}{2} 进行平方运算，方法是同时对该分数的分子和分母进行平方运算。

$$t^{2}-109t+\frac{11881}{4}=-900+\frac{11881}{4}$$

将 \frac{11881}{4} 加上 -900。

$$t^{2}-109t+\frac{11881}{4}=\frac{8281}{4}$$

对 t^{2}-109t+\frac{11881}{4} 进行因式分解。一般而言，当 x^{2}+bx+c 为完全平方数时，总是可以因式分解为 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} 这一形式。

$$\left(t-\frac{109}{2}\right)^{2}=\frac{8281}{4}$$

对方程两边同时取平方根。

$$\sqrt{\left(t-\frac{109}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{8281}{4}}$$

化简。

$$t-\frac{109}{2}=\frac{91}{2} t-\frac{109}{2}=-\frac{91}{2}$$

在等式两边同时加 \frac{109}{2}。

$$t=100 t=9$$