求解 t^2+11+t-42=0

$${ t }^{ 2 } +11+t-42 = 0$$

求解 t 的值

$$t = \frac{5 \sqrt{5} - 1}{2} \approx 5.090169944$$

$$t=\frac{-5\sqrt{5}-1}{2}\approx -6.090169944$$

运用二次公式的步骤

将 11 减去 42，得到 -31。

$$t^{2}-31+t=0$$

形式为 ax^{2}+bx+c=0 的所有方程式均可求解，方法是使用二次公式来求解: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}。此二次公式可得到两个解，一个是当 ± 取加号时的解，另一个是取减号时的解。

$$t^{2}+t-31=0$$

此公式采用标准形式: ax^{2}+bx+c=0。在二次公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 中用 1 替换 a，1 替换 b，并用 -31 替换 c。

$$t=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\left(-31\right)}}{2}$$

对 1 进行平方运算。

$$t=\frac{-1±\sqrt{1-4\left(-31\right)}}{2}$$

求 -4 与 -31 的乘积。

$$t=\frac{-1±\sqrt{1+124}}{2}$$

将 124 加上 1。

$$t=\frac{-1±\sqrt{125}}{2}$$

取 125 的平方根。

$$t=\frac{-1±5\sqrt{5}}{2}$$

现在 ± 为加号时求公式 t=\frac{-1±5\sqrt{5}}{2} 的解。 将 5\sqrt{5} 加上 -1。

$$t=\frac{5\sqrt{5}-1}{2}$$

现在 ± 为减号时求公式 t=\frac{-1±5\sqrt{5}}{2} 的解。 将 -1 减去 5\sqrt{5}。

$$t=\frac{-5\sqrt{5}-1}{2}$$

现已求得方程式的解。

$$t=\frac{5\sqrt{5}-1}{2} t=\frac{-5\sqrt{5}-1}{2}$$

使用配方法的步骤

将 11 减去 42，得到 -31。

$$t^{2}-31+t=0$$

将 31 添加到两侧。 任何数与零相加其值不变。

$$t^{2}+t=31$$

将 x 项的系数 1 除以 2 得 \frac{1}{2}。然后在等式两边同时加上 \frac{1}{2} 的平方。这一运算步骤让等式的左边成为完全平方形式。

$$t^{2}+t+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=31+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$$

对 \frac{1}{2} 进行平方运算，方法是同时对该分数的分子和分母进行平方运算。

$$t^{2}+t+\frac{1}{4}=31+\frac{1}{4}$$

将 \frac{1}{4} 加上 31。

$$t^{2}+t+\frac{1}{4}=\frac{125}{4}$$

因数 t^{2}+t+\frac{1}{4}。一般说来，当 x^{2}+bx+c 是一个平方数时，它始终可以分解为 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(t+\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{125}{4}$$

对方程两边同时取平方根。

$$\sqrt{\left(t+\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{125}{4}}$$

化简。

$$t+\frac{1}{2}=\frac{5\sqrt{5}}{2} t+\frac{1}{2}=-\frac{5\sqrt{5}}{2}$$

将等式的两边同时减去 \frac{1}{2}。

$$t=\frac{5\sqrt{5}-1}{2} t=\frac{-5\sqrt{5}-1}{2}$$