求解 c^2-8c+19=0

$${ c }^{ 2 } -8c+19=0$$

求解 c 的值

$$c=4+\sqrt{3}i\approx 4+1.732050808i$$

$$c=-\sqrt{3}i+4\approx 4-1.732050808i$$

运用二次公式的步骤

形式为 ax^{2}+bx+c=0 的所有方程式均可求解，方法是使用二次公式来求解: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}。此二次公式可得到两个解，一个是当 ± 取加号时的解，另一个是取减号时的解。

$$c^{2}-8c+19=0$$

此公式采用标准形式: ax^{2}+bx+c=0。在二次公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 中用 1 替换 a，-8 替换 b，并用 19 替换 c。

$$c=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{\left(-8\right)^{2}-4\times 19}}{2}$$

对 -8 进行平方运算。

$$c=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-4\times 19}}{2}$$

求 -4 与 19 的乘积。

$$c=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-76}}{2}$$

将 -76 加上 64。

$$c=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{-12}}{2}$$

取 -12 的平方根。

$$c=\frac{-\left(-8\right)±2\sqrt{3}i}{2}$$

-8 的相反数是 8。

$$c=\frac{8±2\sqrt{3}i}{2}$$

现在 ± 为加号时求公式 c=\frac{8±2\sqrt{3}i}{2} 的解。 将 2i\sqrt{3} 加上 8。

$$c=\frac{8+2\sqrt{3}i}{2}$$

8+2i\sqrt{3} 除以 2。

$$c=4+\sqrt{3}i$$

现在 ± 为减号时求公式 c=\frac{8±2\sqrt{3}i}{2} 的解。 将 8 减去 2i\sqrt{3}。

$$c=\frac{-2\sqrt{3}i+8}{2}$$

8-2i\sqrt{3} 除以 2。

$$c=-\sqrt{3}i+4$$

现已求得方程式的解。

$$c=4+\sqrt{3}i c=-\sqrt{3}i+4$$

使用配方法的步骤

这样的二次方程式可通过转换为完全平方形式来求解。要化为完全平方形式，等式必须先转换为 x^{2}+bx=c 的形式。

$$c^{2}-8c+19=0$$

将等式的两边同时减去 19。

$$c^{2}-8c+19-19=-19$$

19 减去它自己得 0。

$$c^{2}-8c=-19$$

将 x 项的系数 -8 除以 2 得 -4。然后在等式两边同时加上 -4 的平方。这一运算步骤让等式的左边成为完全平方形式。

$$c^{2}-8c+\left(-4\right)^{2}=-19+\left(-4\right)^{2}$$

对 -4 进行平方运算。

$$c^{2}-8c+16=-19+16$$

将 16 加上 -19。

$$c^{2}-8c+16=-3$$

因数 c^{2}-8c+16。一般说来，当 x^{2}+bx+c 是一个平方数时，它始终可以分解为 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(c-4\right)^{2}=-3$$

对方程两边同时取平方根。

$$\sqrt{\left(c-4\right)^{2}}=\sqrt{-3}$$

化简。

$$c-4=\sqrt{3}i c-4=-\sqrt{3}i$$

在等式两边同时加 4。

$$c=4+\sqrt{3}i c=-\sqrt{3}i+4$$