求解 left(x+14right)^2-left(x+11right)^2=left(x-6right)^2

$${ \left(x+14 \right) }^{ 2 } - { \left(x+11 \right) }^{ 2 } = { \left(x-6 \right) }^{ 2 }$$

求解 x 的值

$$x=2\sqrt{30}+9\approx 19.95445115$$

$$x=9-2\sqrt{30}\approx -1.95445115$$

运用二次公式的步骤

使用二项式定理 \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} 展开 \left(x+14\right)^{2}。

$$x^{2}+28x+196-\left(x+11\right)^{2}=\left(x-6\right)^{2}$$

使用二项式定理 \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} 展开 \left(x+11\right)^{2}。

$$x^{2}+28x+196-\left(x^{2}+22x+121\right)=\left(x-6\right)^{2}$$

要查找 x^{2}+22x+121 的相反数，请查找每一项的相反数。

$$x^{2}+28x+196-x^{2}-22x-121=\left(x-6\right)^{2}$$

合并 x^{2} 和 -x^{2}，得到 0。

$$28x+196-22x-121=\left(x-6\right)^{2}$$

合并 28x 和 -22x，得到 6x。

$$6x+196-121=\left(x-6\right)^{2}$$

将 196 减去 121，得到 75。

$$6x+75=\left(x-6\right)^{2}$$

使用二项式定理 \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} 展开 \left(x-6\right)^{2}。

$$6x+75=x^{2}-12x+36$$

将方程式两边同时减去 x^{2}。

$$6x+75-x^{2}=-12x+36$$

将 12x 添加到两侧。

$$6x+75-x^{2}+12x=36$$

合并 6x 和 12x，得到 18x。

$$18x+75-x^{2}=36$$

将方程式两边同时减去 36。

$$18x+75-x^{2}-36=0$$

将 75 减去 36，得到 39。

$$18x+39-x^{2}=0$$

形式为 ax^{2}+bx+c=0 的所有方程式均可求解，方法是使用二次公式来求解: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}。此二次公式可得到两个解，一个是当 ± 取加号时的解，另一个是取减号时的解。

$$-x^{2}+18x+39=0$$

此公式采用标准形式: ax^{2}+bx+c=0。在二次公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 中用 -1 替换 a，18 替换 b，并用 39 替换 c。

$$x=\frac{-18±\sqrt{18^{2}-4\left(-1\right)\times 39}}{2\left(-1\right)}$$

对 18 进行平方运算。

$$x=\frac{-18±\sqrt{324-4\left(-1\right)\times 39}}{2\left(-1\right)}$$

求 -4 与 -1 的乘积。

$$x=\frac{-18±\sqrt{324+4\times 39}}{2\left(-1\right)}$$

求 4 与 39 的乘积。

$$x=\frac{-18±\sqrt{324+156}}{2\left(-1\right)}$$

将 156 加上 324。

$$x=\frac{-18±\sqrt{480}}{2\left(-1\right)}$$

取 480 的平方根。

$$x=\frac{-18±4\sqrt{30}}{2\left(-1\right)}$$

求 2 与 -1 的乘积。

$$x=\frac{-18±4\sqrt{30}}{-2}$$

现在 ± 为加号时求公式 x=\frac{-18±4\sqrt{30}}{-2} 的解。 将 4\sqrt{30} 加上 -18。

$$x=\frac{4\sqrt{30}-18}{-2}$$

-18+4\sqrt{30} 除以 -2。

$$x=9-2\sqrt{30}$$

现在 ± 为减号时求公式 x=\frac{-18±4\sqrt{30}}{-2} 的解。 将 -18 减去 4\sqrt{30}。

$$x=\frac{-4\sqrt{30}-18}{-2}$$

-18-4\sqrt{30} 除以 -2。

$$x=2\sqrt{30}+9$$

现已求得方程式的解。

$$x=9-2\sqrt{30} x=2\sqrt{30}+9$$

使用配方法的步骤

使用二项式定理 \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} 展开 \left(x+14\right)^{2}。

$$x^{2}+28x+196-\left(x+11\right)^{2}=\left(x-6\right)^{2}$$

使用二项式定理 \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} 展开 \left(x+11\right)^{2}。

$$x^{2}+28x+196-\left(x^{2}+22x+121\right)=\left(x-6\right)^{2}$$

要查找 x^{2}+22x+121 的相反数，请查找每一项的相反数。

$$x^{2}+28x+196-x^{2}-22x-121=\left(x-6\right)^{2}$$

合并 x^{2} 和 -x^{2}，得到 0。

$$28x+196-22x-121=\left(x-6\right)^{2}$$

合并 28x 和 -22x，得到 6x。

$$6x+196-121=\left(x-6\right)^{2}$$

将 196 减去 121，得到 75。

$$6x+75=\left(x-6\right)^{2}$$

使用二项式定理 \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} 展开 \left(x-6\right)^{2}。

$$6x+75=x^{2}-12x+36$$

将方程式两边同时减去 x^{2}。

$$6x+75-x^{2}=-12x+36$$

将 12x 添加到两侧。

$$6x+75-x^{2}+12x=36$$

合并 6x 和 12x，得到 18x。

$$18x+75-x^{2}=36$$

将方程式两边同时减去 75。

$$18x-x^{2}=36-75$$

将 36 减去 75，得到 -39。

$$18x-x^{2}=-39$$

这样的二次方程式可通过转换为完全平方形式来求解。要化为完全平方形式，等式必须先转换为 x^{2}+bx=c 的形式。

$$-x^{2}+18x=-39$$

两边同时除以 -1。

$$\frac{-x^{2}+18x}{-1}=-\frac{39}{-1}$$

除以 -1 是乘以 -1 的逆运算。

$$x^{2}+\frac{18}{-1}x=-\frac{39}{-1}$$

18 除以 -1。

$$x^{2}-18x=-\frac{39}{-1}$$

-39 除以 -1。

$$x^{2}-18x=39$$

将 x 项的系数 -18 除以 2 得 -9。然后在等式两边同时加上 -9 的平方。这一运算步骤让等式的左边成为完全平方形式。

$$x^{2}-18x+\left(-9\right)^{2}=39+\left(-9\right)^{2}$$

对 -9 进行平方运算。

$$x^{2}-18x+81=39+81$$

将 81 加上 39。

$$x^{2}-18x+81=120$$

对 x^{2}-18x+81 进行因式分解。一般而言，当 x^{2}+bx+c 为完全平方数时，总是可以因式分解为 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} 这一形式。

$$\left(x-9\right)^{2}=120$$

对方程两边同时取平方根。

$$\sqrt{\left(x-9\right)^{2}}=\sqrt{120}$$

化简。

$$x-9=2\sqrt{30} x-9=-2\sqrt{30}$$

在等式两边同时加 9。

$$x=2\sqrt{30}+9 x=9-2\sqrt{30}$$