求解 left(12-xright)^2+144=9x^2

$${ \left(12-x \right) }^{ 2 } +144=9 { x }^{ 2 }$$

求解 x 的值

$$x = \frac{3 \sqrt{17} - 3}{2} \approx 4.684658438$$

$$x=\frac{-3\sqrt{17}-3}{2}\approx -7.684658438$$

运用二次公式的步骤

使用二项式定理 \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} 展开 \left(12-x\right)^{2}。

$$144-24x+x^{2}+144=9x^{2}$$

144 与 144 相加，得到 288。

$$288-24x+x^{2}=9x^{2}$$

将方程式两边同时减去 9x^{2}。

$$288-24x+x^{2}-9x^{2}=0$$

合并 x^{2} 和 -9x^{2}，得到 -8x^{2}。

$$288-24x-8x^{2}=0$$

形式为 ax^{2}+bx+c=0 的所有方程式均可求解，方法是使用二次公式来求解: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}。此二次公式可得到两个解，一个是当 ± 取加号时的解，另一个是取减号时的解。

$$-8x^{2}-24x+288=0$$

此公式采用标准形式: ax^{2}+bx+c=0。在二次公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 中用 -8 替换 a，-24 替换 b，并用 288 替换 c。

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{\left(-24\right)^{2}-4\left(-8\right)\times 288}}{2\left(-8\right)}$$

对 -24 进行平方运算。

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576-4\left(-8\right)\times 288}}{2\left(-8\right)}$$

求 -4 与 -8 的乘积。

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576+32\times 288}}{2\left(-8\right)}$$

求 32 与 288 的乘积。

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576+9216}}{2\left(-8\right)}$$

将 9216 加上 576。

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{9792}}{2\left(-8\right)}$$

取 9792 的平方根。

$$x=\frac{-\left(-24\right)±24\sqrt{17}}{2\left(-8\right)}$$

-24 的相反数是 24。

$$x=\frac{24±24\sqrt{17}}{2\left(-8\right)}$$

求 2 与 -8 的乘积。

$$x=\frac{24±24\sqrt{17}}{-16}$$

现在 ± 为加号时求公式 x=\frac{24±24\sqrt{17}}{-16} 的解。 将 24\sqrt{17} 加上 24。

$$x=\frac{24\sqrt{17}+24}{-16}$$

24+24\sqrt{17} 除以 -16。

$$x=\frac{-3\sqrt{17}-3}{2}$$

现在 ± 为减号时求公式 x=\frac{24±24\sqrt{17}}{-16} 的解。 将 24 减去 24\sqrt{17}。

$$x=\frac{24-24\sqrt{17}}{-16}$$

24-24\sqrt{17} 除以 -16。

$$x=\frac{3\sqrt{17}-3}{2}$$

现已求得方程式的解。

$$x=\frac{-3\sqrt{17}-3}{2} x=\frac{3\sqrt{17}-3}{2}$$

使用配方法的步骤

使用二项式定理 \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} 展开 \left(12-x\right)^{2}。

$$144-24x+x^{2}+144=9x^{2}$$

144 与 144 相加，得到 288。

$$288-24x+x^{2}=9x^{2}$$

将方程式两边同时减去 9x^{2}。

$$288-24x+x^{2}-9x^{2}=0$$

合并 x^{2} 和 -9x^{2}，得到 -8x^{2}。

$$288-24x-8x^{2}=0$$

将方程式两边同时减去 288。 零减去任何数都等于该数的相反数。

$$-24x-8x^{2}=-288$$

这样的二次方程式可通过转换为完全平方形式来求解。要化为完全平方形式，等式必须先转换为 x^{2}+bx=c 的形式。

$$-8x^{2}-24x=-288$$

两边同时除以 -8。

$$\frac{-8x^{2}-24x}{-8}=-\frac{288}{-8}$$

除以 -8 是乘以 -8 的逆运算。

$$x^{2}+\left(-\frac{24}{-8}\right)x=-\frac{288}{-8}$$

-24 除以 -8。

$$x^{2}+3x=-\frac{288}{-8}$$

-288 除以 -8。

$$x^{2}+3x=36$$

将 x 项的系数 3 除以 2 得 \frac{3}{2}。然后在等式两边同时加上 \frac{3}{2} 的平方。这一运算步骤让等式的左边成为完全平方形式。

$$x^{2}+3x+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}=36+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}$$

对 \frac{3}{2} 进行平方运算，方法是同时对该分数的分子和分母进行平方运算。

$$x^{2}+3x+\frac{9}{4}=36+\frac{9}{4}$$

将 \frac{9}{4} 加上 36。

$$x^{2}+3x+\frac{9}{4}=\frac{153}{4}$$

对 x^{2}+3x+\frac{9}{4} 进行因式分解。一般而言，当 x^{2}+bx+c 为完全平方数时，总是可以因式分解为 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} 这一形式。

$$\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{153}{4}$$

对方程两边同时取平方根。

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{153}{4}}$$

化简。

$$x+\frac{3}{2}=\frac{3\sqrt{17}}{2} x+\frac{3}{2}=-\frac{3\sqrt{17}}{2}$$

将等式的两边同时减去 \frac{3}{2}。

$$x=\frac{3\sqrt{17}-3}{2} x=\frac{-3\sqrt{17}-3}{2}$$