求解 {left(05sqrt{3}xright)}^2+left(5-15xright)^2=left(1+xright)^2

$${ \left(05 \sqrt{ 3 } x \right) }^{ 2 } + { \left(5-15x \right) }^{ 2 } = { \left(1+x \right) }^{ 2 }$$

求解 x 的值

$$x=\frac{1}{4}=0.25$$

$$x=\frac{3}{7}\approx 0.428571429$$

运用二次公式的步骤

将 0 与 5 相乘，得到 0。

$$\left(0\sqrt{3}x\right)^{2}+\left(5-15x\right)^{2}=\left(1+x\right)^{2}$$

任何数与零的乘积等于零。

$$0^{2}+\left(5-15x\right)^{2}=\left(1+x\right)^{2}$$

计算 2 的 0 乘方，得到 0。

$$0+\left(5-15x\right)^{2}=\left(1+x\right)^{2}$$

使用二项式定理 \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} 展开 \left(5-15x\right)^{2}。

$$0+25-150x+225x^{2}=\left(1+x\right)^{2}$$

0 与 25 相加，得到 25。

$$25-150x+225x^{2}=\left(1+x\right)^{2}$$

使用二项式定理 \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} 展开 \left(1+x\right)^{2}。

$$25-150x+225x^{2}=1+2x+x^{2}$$

将方程式两边同时减去 1。

$$25-150x+225x^{2}-1=2x+x^{2}$$

将 25 减去 1，得到 24。

$$24-150x+225x^{2}=2x+x^{2}$$

将方程式两边同时减去 2x。

$$24-150x+225x^{2}-2x=x^{2}$$

合并 -150x 和 -2x，得到 -152x。

$$24-152x+225x^{2}=x^{2}$$

将方程式两边同时减去 x^{2}。

$$24-152x+225x^{2}-x^{2}=0$$

合并 225x^{2} 和 -x^{2}，得到 224x^{2}。

$$24-152x+224x^{2}=0$$

形式为 ax^{2}+bx+c=0 的所有方程式均可求解，方法是使用二次公式来求解: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}。此二次公式可得到两个解，一个是当 ± 取加号时的解，另一个是取减号时的解。

$$224x^{2}-152x+24=0$$

此公式采用标准形式: ax^{2}+bx+c=0。在二次公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 中用 224 替换 a，-152 替换 b，并用 24 替换 c。

$$x=\frac{-\left(-152\right)±\sqrt{\left(-152\right)^{2}-4\times 224\times 24}}{2\times 224}$$

对 -152 进行平方运算。

$$x=\frac{-\left(-152\right)±\sqrt{23104-4\times 224\times 24}}{2\times 224}$$

求 -4 与 224 的乘积。

$$x=\frac{-\left(-152\right)±\sqrt{23104-896\times 24}}{2\times 224}$$

求 -896 与 24 的乘积。

$$x=\frac{-\left(-152\right)±\sqrt{23104-21504}}{2\times 224}$$

将 -21504 加上 23104。

$$x=\frac{-\left(-152\right)±\sqrt{1600}}{2\times 224}$$

取 1600 的平方根。

$$x=\frac{-\left(-152\right)±40}{2\times 224}$$

-152 的相反数是 152。

$$x=\frac{152±40}{2\times 224}$$

求 2 与 224 的乘积。

$$x=\frac{152±40}{448}$$

现在 ± 为加号时求公式 x=\frac{152±40}{448} 的解。 将 40 加上 152。

$$x=\frac{192}{448}$$

通过求根和消去 64，将分数 \frac{192}{448} 降低为最简分数。

$$x=\frac{3}{7}$$

现在 ± 为减号时求公式 x=\frac{152±40}{448} 的解。 将 152 减去 40。

$$x=\frac{112}{448}$$

通过求根和消去 112，将分数 \frac{112}{448} 降低为最简分数。

$$x=\frac{1}{4}$$

现已求得方程式的解。

$$x=\frac{3}{7} x=\frac{1}{4}$$

使用配方法的步骤

将 0 与 5 相乘，得到 0。

$$\left(0\sqrt{3}x\right)^{2}+\left(5-15x\right)^{2}=\left(1+x\right)^{2}$$

任何数与零的乘积等于零。

$$0^{2}+\left(5-15x\right)^{2}=\left(1+x\right)^{2}$$

计算 2 的 0 乘方，得到 0。

$$0+\left(5-15x\right)^{2}=\left(1+x\right)^{2}$$

使用二项式定理 \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} 展开 \left(5-15x\right)^{2}。

$$0+25-150x+225x^{2}=\left(1+x\right)^{2}$$

0 与 25 相加，得到 25。

$$25-150x+225x^{2}=\left(1+x\right)^{2}$$

使用二项式定理 \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} 展开 \left(1+x\right)^{2}。

$$25-150x+225x^{2}=1+2x+x^{2}$$

将方程式两边同时减去 2x。

$$25-150x+225x^{2}-2x=1+x^{2}$$

合并 -150x 和 -2x，得到 -152x。

$$25-152x+225x^{2}=1+x^{2}$$

将方程式两边同时减去 x^{2}。

$$25-152x+225x^{2}-x^{2}=1$$

合并 225x^{2} 和 -x^{2}，得到 224x^{2}。

$$25-152x+224x^{2}=1$$

将方程式两边同时减去 25。

$$-152x+224x^{2}=1-25$$

将 1 减去 25，得到 -24。

$$-152x+224x^{2}=-24$$

这样的二次方程式可通过转换为完全平方形式来求解。要化为完全平方形式，等式必须先转换为 x^{2}+bx=c 的形式。

$$224x^{2}-152x=-24$$

两边同时除以 224。

$$\frac{224x^{2}-152x}{224}=-\frac{24}{224}$$

除以 224 是乘以 224 的逆运算。

$$x^{2}+\left(-\frac{152}{224}\right)x=-\frac{24}{224}$$

通过求根和消去 8，将分数 \frac{-152}{224} 降低为最简分数。

$$x^{2}-\frac{19}{28}x=-\frac{24}{224}$$

通过求根和消去 8，将分数 \frac{-24}{224} 降低为最简分数。

$$x^{2}-\frac{19}{28}x=-\frac{3}{28}$$

将 x 项的系数 -\frac{19}{28} 除以 2 得 -\frac{19}{56}。然后在等式两边同时加上 -\frac{19}{56} 的平方。这一运算步骤让等式的左边成为完全平方形式。

$$x^{2}-\frac{19}{28}x+\left(-\frac{19}{56}\right)^{2}=-\frac{3}{28}+\left(-\frac{19}{56}\right)^{2}$$

对 -\frac{19}{56} 进行平方运算，方法是同时对该分数的分子和分母进行平方运算。

$$x^{2}-\frac{19}{28}x+\frac{361}{3136}=-\frac{3}{28}+\frac{361}{3136}$$

将 \frac{361}{3136} 加上 -\frac{3}{28}，计算方法是寻找公分母，加上各自的分子。然后将所得分数进行约分化为最简分数。

$$x^{2}-\frac{19}{28}x+\frac{361}{3136}=\frac{25}{3136}$$

因数 x^{2}-\frac{19}{28}x+\frac{361}{3136}。一般说来，当 x^{2}+bx+c 是一个平方数时，它始终可以分解为 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(x-\frac{19}{56}\right)^{2}=\frac{25}{3136}$$

对方程两边同时取平方根。

$$\sqrt{\left(x-\frac{19}{56}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{25}{3136}}$$

化简。

$$x-\frac{19}{56}=\frac{5}{56} x-\frac{19}{56}=-\frac{5}{56}$$

在等式两边同时加 \frac{19}{56}。

$$x=\frac{3}{7} x=\frac{1}{4}$$