求解 {left(sqrt{6}+sqrt{2}right)}^2-2sqrt{2}*sqrt{6}+sqrt{2}

$${ \left( \sqrt{ 6 } + \sqrt{ 2 } \right) }^{ 2 } -2 \sqrt{ 2 } \times \sqrt{ 6 } + \sqrt{ 2 }$$

求值

$$\sqrt{2}+8\approx 9.414213562$$

求解步骤

使用二项式定理 \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} 展开 \left(\sqrt{6}+\sqrt{2}\right)^{2}。

$$\left(\sqrt{6}\right)^{2}+2\sqrt{6}\sqrt{2}+\left(\sqrt{2}\right)^{2}-2\sqrt{2}\sqrt{6}+\sqrt{2}$$

\sqrt{6} 的平方是 6。

$$6+2\sqrt{6}\sqrt{2}+\left(\sqrt{2}\right)^{2}-2\sqrt{2}\sqrt{6}+\sqrt{2}$$

因式分解 6=2\times 3。 将乘积 \sqrt{2\times 3} 的平方根重写为平方根 \sqrt{2}\sqrt{3} 的乘积。

$$6+2\sqrt{2}\sqrt{3}\sqrt{2}+\left(\sqrt{2}\right)^{2}-2\sqrt{2}\sqrt{6}+\sqrt{2}$$

将 \sqrt{2} 与 \sqrt{2} 相乘，得到 2。

$$6+2\times 2\sqrt{3}+\left(\sqrt{2}\right)^{2}-2\sqrt{2}\sqrt{6}+\sqrt{2}$$

将 2 与 2 相乘，得到 4。

$$6+4\sqrt{3}+\left(\sqrt{2}\right)^{2}-2\sqrt{2}\sqrt{6}+\sqrt{2}$$

\sqrt{2} 的平方是 2。

$$6+4\sqrt{3}+2-2\sqrt{2}\sqrt{6}+\sqrt{2}$$

6 与 2 相加，得到 8。

$$8+4\sqrt{3}-2\sqrt{2}\sqrt{6}+\sqrt{2}$$

因式分解 6=2\times 3。 将乘积 \sqrt{2\times 3} 的平方根重写为平方根 \sqrt{2}\sqrt{3} 的乘积。

$$8+4\sqrt{3}-2\sqrt{2}\sqrt{2}\sqrt{3}+\sqrt{2}$$

将 \sqrt{2} 与 \sqrt{2} 相乘，得到 2。

$$8+4\sqrt{3}-2\times 2\sqrt{3}+\sqrt{2}$$

将 2 与 2 相乘，得到 4。

$$8+4\sqrt{3}-4\sqrt{3}+\sqrt{2}$$

合并 4\sqrt{3} 和 -4\sqrt{3}，得到 0。

$$8+\sqrt{2}$$