求解 {left(1/4xright)}^2+{left(80/4-1/4xright)}^2=200

$${ \left( \frac{ 1 }{ 4 } x \right) }^{ 2 } + { \left( \frac{ 80 }{ 4 } - \frac{ 1 }{ 4 } x \right) }^{ 2 } =200$$

求解 x 的值

$$x=40$$

运用二次公式的步骤

展开 \left(\frac{1}{4}x\right)^{2}。

$$\left(\frac{1}{4}\right)^{2}x^{2}+\left(\frac{80}{4}-\frac{1}{4}x\right)^{2}=200$$

计算 2 的 \frac{1}{4} 乘方，得到 \frac{1}{16}。

$$\frac{1}{16}x^{2}+\left(\frac{80}{4}-\frac{1}{4}x\right)^{2}=200$$

80 除以 4 得 20。

$$\frac{1}{16}x^{2}+\left(20-\frac{1}{4}x\right)^{2}=200$$

使用二项式定理 \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} 展开 \left(20-\frac{1}{4}x\right)^{2}。

$$\frac{1}{16}x^{2}+400-10x+\frac{1}{16}x^{2}=200$$

合并 \frac{1}{16}x^{2} 和 \frac{1}{16}x^{2}，得到 \frac{1}{8}x^{2}。

$$\frac{1}{8}x^{2}+400-10x=200$$

将方程式两边同时减去 200。

$$\frac{1}{8}x^{2}+400-10x-200=0$$

将 400 减去 200，得到 200。

$$\frac{1}{8}x^{2}+200-10x=0$$

形式为 ax^{2}+bx+c=0 的所有方程式均可求解，方法是使用二次公式来求解: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}。此二次公式可得到两个解，一个是当 ± 取加号时的解，另一个是取减号时的解。

$$\frac{1}{8}x^{2}-10x+200=0$$

此公式采用标准形式: ax^{2}+bx+c=0。在二次公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 中用 \frac{1}{8} 替换 a，-10 替换 b，并用 200 替换 c。

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{\left(-10\right)^{2}-4\times \frac{1}{8}\times 200}}{2\times \frac{1}{8}}$$

对 -10 进行平方运算。

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-4\times \frac{1}{8}\times 200}}{2\times \frac{1}{8}}$$

求 -4 与 \frac{1}{8} 的乘积。

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-\frac{1}{2}\times 200}}{2\times \frac{1}{8}}$$

求 -\frac{1}{2} 与 200 的乘积。

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-100}}{2\times \frac{1}{8}}$$

将 -100 加上 100。

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{0}}{2\times \frac{1}{8}}$$

取 0 的平方根。

$$x=-\frac{-10}{2\times \frac{1}{8}}$$

-10 的相反数是 10。

$$x=\frac{10}{2\times \frac{1}{8}}$$

求 2 与 \frac{1}{8} 的乘积。

$$x=\frac{10}{\frac{1}{4}}$$

10 除以 \frac{1}{4} 的计算方法是用 10 乘以 \frac{1}{4} 的倒数。

$$x=40$$

使用配方法的步骤

展开 \left(\frac{1}{4}x\right)^{2}。

$$\left(\frac{1}{4}\right)^{2}x^{2}+\left(\frac{80}{4}-\frac{1}{4}x\right)^{2}=200$$

计算 2 的 \frac{1}{4} 乘方，得到 \frac{1}{16}。

$$\frac{1}{16}x^{2}+\left(\frac{80}{4}-\frac{1}{4}x\right)^{2}=200$$

80 除以 4 得 20。

$$\frac{1}{16}x^{2}+\left(20-\frac{1}{4}x\right)^{2}=200$$

使用二项式定理 \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} 展开 \left(20-\frac{1}{4}x\right)^{2}。

$$\frac{1}{16}x^{2}+400-10x+\frac{1}{16}x^{2}=200$$

合并 \frac{1}{16}x^{2} 和 \frac{1}{16}x^{2}，得到 \frac{1}{8}x^{2}。

$$\frac{1}{8}x^{2}+400-10x=200$$

将方程式两边同时减去 400。

$$\frac{1}{8}x^{2}-10x=200-400$$

将 200 减去 400，得到 -200。

$$\frac{1}{8}x^{2}-10x=-200$$

将两边同时乘以 8。

$$\frac{\frac{1}{8}x^{2}-10x}{\frac{1}{8}}=-\frac{200}{\frac{1}{8}}$$

除以 \frac{1}{8} 是乘以 \frac{1}{8} 的逆运算。

$$x^{2}+\left(-\frac{10}{\frac{1}{8}}\right)x=-\frac{200}{\frac{1}{8}}$$

-10 除以 \frac{1}{8} 的计算方法是用 -10 乘以 \frac{1}{8} 的倒数。

$$x^{2}-80x=-\frac{200}{\frac{1}{8}}$$

-200 除以 \frac{1}{8} 的计算方法是用 -200 乘以 \frac{1}{8} 的倒数。

$$x^{2}-80x=-1600$$

将 x 项的系数 -80 除以 2 得 -40。然后在等式两边同时加上 -40 的平方。这一运算步骤让等式的左边成为完全平方形式。

$$x^{2}-80x+\left(-40\right)^{2}=-1600+\left(-40\right)^{2}$$

对 -40 进行平方运算。

$$x^{2}-80x+1600=-1600+1600$$

将 1600 加上 -1600。

$$x^{2}-80x+1600=0$$

因数 x^{2}-80x+1600。一般说来，当 x^{2}+bx+c 是一个平方数时，它始终可以分解为 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(x-40\right)^{2}=0$$

对方程两边同时取平方根。

$$\sqrt{\left(x-40\right)^{2}}=\sqrt{0}$$

化简。

$$x-40=0 x-40=0$$

在等式两边同时加 40。

$$x=40 x=40$$

现已求得方程式的解。 解是相同的。

$$x=40$$