求解 {left(1/3-sqrt{2}right)}^2

$${ \left( \frac{ 1 }{ 3- \sqrt{ 2 } } \right) }^{ 2 }$$

求值

$$\frac{6\sqrt{2}+11}{49}\approx 0.397658804$$

求解步骤

通过将分子和分母乘以 3+\sqrt{2}，使 \frac{1}{3-\sqrt{2}} 的分母有理化

$$\left(\frac{3+\sqrt{2}}{\left(3-\sqrt{2}\right)\left(3+\sqrt{2}\right)}\right)^{2}$$

请考虑 \left(3-\sqrt{2}\right)\left(3+\sqrt{2}\right)。 使用以下规则可将乘法转换为平方差: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}。

$$\left(\frac{3+\sqrt{2}}{3^{2}-\left(\sqrt{2}\right)^{2}}\right)^{2}$$

对 3 进行平方运算。 对 \sqrt{2} 进行平方运算。

$$\left(\frac{3+\sqrt{2}}{9-2}\right)^{2}$$

将 9 减去 2，得到 7。

$$\left(\frac{3+\sqrt{2}}{7}\right)^{2}$$

若要对 \frac{3+\sqrt{2}}{7} 进行幂运算，请同时对分子和分母进行幂运算，然后相除。

$$\frac{\left(3+\sqrt{2}\right)^{2}}{7^{2}}$$

使用二项式定理 \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} 展开 \left(3+\sqrt{2}\right)^{2}。

$$\frac{9+6\sqrt{2}+\left(\sqrt{2}\right)^{2}}{7^{2}}$$

\sqrt{2} 的平方是 2。

$$\frac{9+6\sqrt{2}+2}{7^{2}}$$

9 与 2 相加，得到 11。

$$\frac{11+6\sqrt{2}}{7^{2}}$$

计算 2 的 7 乘方，得到 49。

$$\frac{11+6\sqrt{2}}{49}$$