求解 {left(frac{sqrt{6}-sqrt{2}}{4}right)}^2+{left(frac{sqrt{6}+sqrt{2}}{4}right)}^2

$${ \left( \frac{ \sqrt{ 6 } - \sqrt{ 2 } }{ 4 } \right) }^{ 2 } + { \left( \frac{ \sqrt{ 6 } + \sqrt{ 2 } }{ 4 } \right) }^{ 2 }$$

求值

$$1$$

简短求解步骤

若要对 \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4} 进行幂运算，请同时对分子和分母进行幂运算，然后相除。

$$\frac{\left(\sqrt{6}-\sqrt{2}\right)^{2}}{4^{2}}+\left(\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}\right)^{2}$$

若要对 \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4} 进行幂运算，请同时对分子和分母进行幂运算，然后相除。

$$\frac{\left(\sqrt{6}-\sqrt{2}\right)^{2}}{4^{2}}+\frac{\left(\sqrt{6}+\sqrt{2}\right)^{2}}{4^{2}}$$

由于 \frac{\left(\sqrt{6}-\sqrt{2}\right)^{2}}{4^{2}} 和 \frac{\left(\sqrt{6}+\sqrt{2}\right)^{2}}{4^{2}} 具有相同的分母，可通过分子相加来求和。

$$\frac{\left(\sqrt{6}-\sqrt{2}\right)^{2}+\left(\sqrt{6}+\sqrt{2}\right)^{2}}{4^{2}}$$

使用二项式定理 \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} 展开 \left(\sqrt{6}-\sqrt{2}\right)^{2}。

$$\frac{\left(\sqrt{6}\right)^{2}-2\sqrt{6}\sqrt{2}+\left(\sqrt{2}\right)^{2}}{4^{2}}+\frac{\left(\sqrt{6}+\sqrt{2}\right)^{2}}{4^{2}}$$

\sqrt{6} 的平方是 6。

$$\frac{6-2\sqrt{6}\sqrt{2}+\left(\sqrt{2}\right)^{2}}{4^{2}}+\frac{\left(\sqrt{6}+\sqrt{2}\right)^{2}}{4^{2}}$$

因式分解 6=2\times 3。 将乘积 \sqrt{2\times 3} 的平方根重写为平方根 \sqrt{2}\sqrt{3} 的乘积。

$$\frac{6-2\sqrt{2}\sqrt{3}\sqrt{2}+\left(\sqrt{2}\right)^{2}}{4^{2}}+\frac{\left(\sqrt{6}+\sqrt{2}\right)^{2}}{4^{2}}$$

将 \sqrt{2} 与 \sqrt{2} 相乘，得到 2。

$$\frac{6-2\times 2\sqrt{3}+\left(\sqrt{2}\right)^{2}}{4^{2}}+\frac{\left(\sqrt{6}+\sqrt{2}\right)^{2}}{4^{2}}$$

将 -2 与 2 相乘，得到 -4。

$$\frac{6-4\sqrt{3}+\left(\sqrt{2}\right)^{2}}{4^{2}}+\frac{\left(\sqrt{6}+\sqrt{2}\right)^{2}}{4^{2}}$$

\sqrt{2} 的平方是 2。

$$\frac{6-4\sqrt{3}+2}{4^{2}}+\frac{\left(\sqrt{6}+\sqrt{2}\right)^{2}}{4^{2}}$$

6 与 2 相加，得到 8。

$$\frac{8-4\sqrt{3}}{4^{2}}+\frac{\left(\sqrt{6}+\sqrt{2}\right)^{2}}{4^{2}}$$

计算 2 的 4 乘方，得到 16。

$$\frac{8-4\sqrt{3}}{16}+\frac{\left(\sqrt{6}+\sqrt{2}\right)^{2}}{4^{2}}$$

使用二项式定理 \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} 展开 \left(\sqrt{6}+\sqrt{2}\right)^{2}。

$$\frac{8-4\sqrt{3}}{16}+\frac{\left(\sqrt{6}\right)^{2}+2\sqrt{6}\sqrt{2}+\left(\sqrt{2}\right)^{2}}{4^{2}}$$

\sqrt{6} 的平方是 6。

$$\frac{8-4\sqrt{3}}{16}+\frac{6+2\sqrt{6}\sqrt{2}+\left(\sqrt{2}\right)^{2}}{4^{2}}$$

因式分解 6=2\times 3。 将乘积 \sqrt{2\times 3} 的平方根重写为平方根 \sqrt{2}\sqrt{3} 的乘积。

$$\frac{8-4\sqrt{3}}{16}+\frac{6+2\sqrt{2}\sqrt{3}\sqrt{2}+\left(\sqrt{2}\right)^{2}}{4^{2}}$$

将 \sqrt{2} 与 \sqrt{2} 相乘，得到 2。

$$\frac{8-4\sqrt{3}}{16}+\frac{6+2\times 2\sqrt{3}+\left(\sqrt{2}\right)^{2}}{4^{2}}$$

将 2 与 2 相乘，得到 4。

$$\frac{8-4\sqrt{3}}{16}+\frac{6+4\sqrt{3}+\left(\sqrt{2}\right)^{2}}{4^{2}}$$

\sqrt{2} 的平方是 2。

$$\frac{8-4\sqrt{3}}{16}+\frac{6+4\sqrt{3}+2}{4^{2}}$$

6 与 2 相加，得到 8。

$$\frac{8-4\sqrt{3}}{16}+\frac{8+4\sqrt{3}}{4^{2}}$$

计算 2 的 4 乘方，得到 16。

$$\frac{8-4\sqrt{3}}{16}+\frac{8+4\sqrt{3}}{16}$$

由于 \frac{8-4\sqrt{3}}{16} 和 \frac{8+4\sqrt{3}}{16} 具有相同的分母，可通过分子相加来求和。

$$\frac{8-4\sqrt{3}+8+4\sqrt{3}}{16}$$

完成 8-4\sqrt{3}+8+4\sqrt{3} 中的计算。

$$\frac{16}{16}$$

因式分解

$$1$$