求解 {left(frac{sqrt{3}+1}{sqrt{3}-1}right)}^2

$${ \left( \frac{ \sqrt{ 3 } +1 }{ \sqrt{ 3 } -1 } \right) }^{ 2 }$$

求值

$$4\sqrt{3}+7\approx 13.92820323$$

求解步骤

通过将分子和分母乘以 \sqrt{3}+1，使 \frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1} 的分母有理化

$$\left(\frac{\left(\sqrt{3}+1\right)\left(\sqrt{3}+1\right)}{\left(\sqrt{3}-1\right)\left(\sqrt{3}+1\right)}\right)^{2}$$

请考虑 \left(\sqrt{3}-1\right)\left(\sqrt{3}+1\right)。 使用以下规则可将乘法转换为平方差: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}。

$$\left(\frac{\left(\sqrt{3}+1\right)\left(\sqrt{3}+1\right)}{\left(\sqrt{3}\right)^{2}-1^{2}}\right)^{2}$$

对 \sqrt{3} 进行平方运算。 对 1 进行平方运算。

$$\left(\frac{\left(\sqrt{3}+1\right)\left(\sqrt{3}+1\right)}{3-1}\right)^{2}$$

将 3 减去 1，得到 2。

$$\left(\frac{\left(\sqrt{3}+1\right)\left(\sqrt{3}+1\right)}{2}\right)^{2}$$

将 \sqrt{3}+1 与 \sqrt{3}+1 相乘，得到 \left(\sqrt{3}+1\right)^{2}。

$$\left(\frac{\left(\sqrt{3}+1\right)^{2}}{2}\right)^{2}$$

使用二项式定理 \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} 展开 \left(\sqrt{3}+1\right)^{2}。

$$\left(\frac{\left(\sqrt{3}\right)^{2}+2\sqrt{3}+1}{2}\right)^{2}$$

\sqrt{3} 的平方是 3。

$$\left(\frac{3+2\sqrt{3}+1}{2}\right)^{2}$$

3 与 1 相加，得到 4。

$$\left(\frac{4+2\sqrt{3}}{2}\right)^{2}$$

4+2\sqrt{3} 的每项除以 2 得 2+\sqrt{3}。

$$\left(2+\sqrt{3}\right)^{2}$$

使用二项式定理 \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} 展开 \left(2+\sqrt{3}\right)^{2}。

$$4+4\sqrt{3}+\left(\sqrt{3}\right)^{2}$$

\sqrt{3} 的平方是 3。

$$4+4\sqrt{3}+3$$

4 与 3 相加，得到 7。

$$7+4\sqrt{3}$$

展开

$$4 \sqrt{3} + 7 = 13.92820323$$

求解步骤

通过将分子和分母乘以 \sqrt{3}+1，使 \frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1} 的分母有理化

$$\left(\frac{\left(\sqrt{3}+1\right)\left(\sqrt{3}+1\right)}{\left(\sqrt{3}-1\right)\left(\sqrt{3}+1\right)}\right)^{2}$$

请考虑 \left(\sqrt{3}-1\right)\left(\sqrt{3}+1\right)。 使用以下规则可将乘法转换为平方差: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}。

$$\left(\frac{\left(\sqrt{3}+1\right)\left(\sqrt{3}+1\right)}{\left(\sqrt{3}\right)^{2}-1^{2}}\right)^{2}$$

对 \sqrt{3} 进行平方运算。 对 1 进行平方运算。

$$\left(\frac{\left(\sqrt{3}+1\right)\left(\sqrt{3}+1\right)}{3-1}\right)^{2}$$

将 3 减去 1，得到 2。

$$\left(\frac{\left(\sqrt{3}+1\right)\left(\sqrt{3}+1\right)}{2}\right)^{2}$$

将 \sqrt{3}+1 与 \sqrt{3}+1 相乘，得到 \left(\sqrt{3}+1\right)^{2}。

$$\left(\frac{\left(\sqrt{3}+1\right)^{2}}{2}\right)^{2}$$

使用二项式定理 \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} 展开 \left(\sqrt{3}+1\right)^{2}。

$$\left(\frac{\left(\sqrt{3}\right)^{2}+2\sqrt{3}+1}{2}\right)^{2}$$

\sqrt{3} 的平方是 3。

$$\left(\frac{3+2\sqrt{3}+1}{2}\right)^{2}$$

3 与 1 相加，得到 4。

$$\left(\frac{4+2\sqrt{3}}{2}\right)^{2}$$

4+2\sqrt{3} 的每项除以 2 得 2+\sqrt{3}。

$$\left(2+\sqrt{3}\right)^{2}$$

使用二项式定理 \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} 展开 \left(2+\sqrt{3}\right)^{2}。

$$4+4\sqrt{3}+\left(\sqrt{3}\right)^{2}$$

\sqrt{3} 的平方是 3。

$$4+4\sqrt{3}+3$$

4 与 3 相加，得到 7。

$$7+4\sqrt{3}$$