求解 varphi^3=2varphi+1

$$\varphi ^ { 3 } = 2 \varphi + 1$$

求解 φ 的值

$$\phi =\frac{1-\sqrt{5}}{2}\approx -0.618033989$$

$$\phi =-1$$

$$\phi =\frac{\sqrt{5}+1}{2}\approx 1.618033989$$

求解步骤

将方程式两边同时减去 2\phi 。

$$\phi ^{3}-2\phi =1$$

将方程式两边同时减去 1。

$$\phi ^{3}-2\phi -1=0$$

依据“有理根定理”，多项式的所有有理根都是 \frac{p}{q} 的形式，其中，p 除以常数项 -1，q 除以首项系数 1。 列出所有候选 \frac{p}{q}。

$$±1$$

通过尝试所有整数值(按绝对值从最小值开始)，查找一个类似的根。如果找不到整数根，请尝试分数。

$$\phi =-1$$

依据“因式定理”，\phi -k 是每个根 k 的多项式因数。 \phi ^{3}-2\phi -1 除以 \phi +1 得 \phi ^{2}-\phi -1。 求解结果等于 0 的方程式。

$$\phi ^{2}-\phi -1=0$$

ax^{2}+bx+c=0 形式的所有方程式都可以使用二次公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 来求解。在二次公式中，用 a 替换 1、用 -1 替换 b、用 -1 替换 c。

$$\phi =\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{\left(-1\right)^{2}-4\times 1\left(-1\right)}}{2}$$

完成计算。

$$\phi =\frac{1±\sqrt{5}}{2}$$

求 ± 为加号和 ± 为减号时方程式 \phi ^{2}-\phi -1=0 的解。

$$\phi =\frac{1-\sqrt{5}}{2} \phi =\frac{\sqrt{5}+1}{2}$$

列出所有找到的解决方案。

$$\phi =-1 \phi =\frac{1-\sqrt{5}}{2} \phi =\frac{\sqrt{5}+1}{2}$$