求解 sqrt{x+5}=x

$$\sqrt{ x+5 } =x$$

求解 x 的值

$$x = \frac{\sqrt{21} + 1}{2} \approx 2.791287847$$

求解步骤

对方程式的两边同时进行平方运算。

$$\left(\sqrt{x+5}\right)^{2}=x^{2}$$

计算 2 的 \sqrt{x+5} 乘方，得到 x+5。

$$x+5=x^{2}$$

将方程式两边同时减去 x^{2}。

$$x+5-x^{2}=0$$

形式为 ax^{2}+bx+c=0 的所有方程式均可求解，方法是使用二次公式来求解: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}。此二次公式可得到两个解，一个是当 ± 取加号时的解，另一个是取减号时的解。

$$-x^{2}+x+5=0$$

此公式采用标准形式: ax^{2}+bx+c=0。在二次公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 中用 -1 替换 a，1 替换 b，并用 5 替换 c。

$$x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\left(-1\right)\times 5}}{2\left(-1\right)}$$

对 1 进行平方运算。

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-4\left(-1\right)\times 5}}{2\left(-1\right)}$$

求 -4 与 -1 的乘积。

$$x=\frac{-1±\sqrt{1+4\times 5}}{2\left(-1\right)}$$

求 4 与 5 的乘积。

$$x=\frac{-1±\sqrt{1+20}}{2\left(-1\right)}$$

将 20 加上 1。

$$x=\frac{-1±\sqrt{21}}{2\left(-1\right)}$$

求 2 与 -1 的乘积。

$$x=\frac{-1±\sqrt{21}}{-2}$$

现在 ± 为加号时求公式 x=\frac{-1±\sqrt{21}}{-2} 的解。 将 \sqrt{21} 加上 -1。

$$x=\frac{\sqrt{21}-1}{-2}$$

-1+\sqrt{21} 除以 -2。

$$x=\frac{1-\sqrt{21}}{2}$$

现在 ± 为减号时求公式 x=\frac{-1±\sqrt{21}}{-2} 的解。 将 -1 减去 \sqrt{21}。

$$x=\frac{-\sqrt{21}-1}{-2}$$

-1-\sqrt{21} 除以 -2。

$$x=\frac{\sqrt{21}+1}{2}$$

现已求得方程式的解。

$$x=\frac{1-\sqrt{21}}{2} x=\frac{\sqrt{21}+1}{2}$$

用 \frac{1-\sqrt{21}}{2} 替代方程 \sqrt{x+5}=x 中的 x。

$$\sqrt{\frac{1-\sqrt{21}}{2}+5}=\frac{1-\sqrt{21}}{2}$$

化简。 x=\frac{1-\sqrt{21}}{2} 的值不满足公式，因为左侧和右侧具有相反的符号。

$$-\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\times 21^{\frac{1}{2}}\right)=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\times 21^{\frac{1}{2}}$$

用 \frac{\sqrt{21}+1}{2} 替代方程 \sqrt{x+5}=x 中的 x。

$$\sqrt{\frac{\sqrt{21}+1}{2}+5}=\frac{\sqrt{21}+1}{2}$$

化简。 值 x=\frac{\sqrt{21}+1}{2} 满足公式。

$$\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\times 21^{\frac{1}{2}}=\frac{1}{2}\times 21^{\frac{1}{2}}+\frac{1}{2}$$

公式 \sqrt{x+5}=x 具有唯一解。

$$x=\frac{\sqrt{21}+1}{2}$$