求解 sqrt{80}+5sqrt{1/5}-3sqrt{5}+1/5sqrt{125}

$$\sqrt{ 80 } +5 \sqrt{ \frac{ 1 }{ 5 } } -3 \sqrt{ 5 } + \frac{ 1 }{ 5 } \sqrt{ 125 }$$

求值

$$3\sqrt{5}\approx 6.708203932$$

求解步骤

因式分解 80=4^{2}\times 5。 将乘积 \sqrt{4^{2}\times 5} 的平方根重写为平方根 \sqrt{4^{2}}\sqrt{5} 的乘积。 取 4^{2} 的平方根。

$$4\sqrt{5}+5\sqrt{\frac{1}{5}}-3\sqrt{5}+\frac{1}{5}\sqrt{125}$$

重写除法 \sqrt{\frac{1}{5}} 的平方根作为平方根 \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{5}} 的除法。

$$4\sqrt{5}+5\times \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{5}}-3\sqrt{5}+\frac{1}{5}\sqrt{125}$$

计算 1 的平方根并得到 1。

$$4\sqrt{5}+5\times \frac{1}{\sqrt{5}}-3\sqrt{5}+\frac{1}{5}\sqrt{125}$$

通过将分子和分母乘以 \sqrt{5}，使 \frac{1}{\sqrt{5}} 的分母有理化

$$4\sqrt{5}+5\times \frac{\sqrt{5}}{\left(\sqrt{5}\right)^{2}}-3\sqrt{5}+\frac{1}{5}\sqrt{125}$$

\sqrt{5} 的平方是 5。

$$4\sqrt{5}+5\times \frac{\sqrt{5}}{5}-3\sqrt{5}+\frac{1}{5}\sqrt{125}$$

消去 5 和 5。

$$4\sqrt{5}+\sqrt{5}-3\sqrt{5}+\frac{1}{5}\sqrt{125}$$

合并 4\sqrt{5} 和 \sqrt{5}，得到 5\sqrt{5}。

$$5\sqrt{5}-3\sqrt{5}+\frac{1}{5}\sqrt{125}$$

合并 5\sqrt{5} 和 -3\sqrt{5}，得到 2\sqrt{5}。

$$2\sqrt{5}+\frac{1}{5}\sqrt{125}$$

因式分解 125=5^{2}\times 5。 将乘积 \sqrt{5^{2}\times 5} 的平方根重写为平方根 \sqrt{5^{2}}\sqrt{5} 的乘积。 取 5^{2} 的平方根。

$$2\sqrt{5}+\frac{1}{5}\times 5\sqrt{5}$$

消去 5 和 5。

$$2\sqrt{5}+\sqrt{5}$$

合并 2\sqrt{5} 和 \sqrt{5}，得到 3\sqrt{5}。

$$3\sqrt{5}$$