求解 sqrt{4n+3}=n

$$\sqrt{ 4n+3 } = n$$

求解 n 的值

$$n=\sqrt{7}+2\approx 4.645751311$$

求解步骤

对方程式的两边同时进行平方运算。

$$\left(\sqrt{4n+3}\right)^{2}=n^{2}$$

计算 2 的 \sqrt{4n+3} 乘方，得到 4n+3。

$$4n+3=n^{2}$$

将方程式两边同时减去 n^{2}。

$$4n+3-n^{2}=0$$

形式为 ax^{2}+bx+c=0 的所有方程式均可求解，方法是使用二次公式来求解: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}。此二次公式可得到两个解，一个是当 ± 取加号时的解，另一个是取减号时的解。

$$-n^{2}+4n+3=0$$

此公式采用标准形式: ax^{2}+bx+c=0。在二次公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 中用 -1 替换 a，4 替换 b，并用 3 替换 c。

$$n=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\left(-1\right)\times 3}}{2\left(-1\right)}$$

对 4 进行平方运算。

$$n=\frac{-4±\sqrt{16-4\left(-1\right)\times 3}}{2\left(-1\right)}$$

求 -4 与 -1 的乘积。

$$n=\frac{-4±\sqrt{16+4\times 3}}{2\left(-1\right)}$$

求 4 与 3 的乘积。

$$n=\frac{-4±\sqrt{16+12}}{2\left(-1\right)}$$

将 12 加上 16。

$$n=\frac{-4±\sqrt{28}}{2\left(-1\right)}$$

取 28 的平方根。

$$n=\frac{-4±2\sqrt{7}}{2\left(-1\right)}$$

求 2 与 -1 的乘积。

$$n=\frac{-4±2\sqrt{7}}{-2}$$

现在 ± 为加号时求公式 n=\frac{-4±2\sqrt{7}}{-2} 的解。 将 2\sqrt{7} 加上 -4。

$$n=\frac{2\sqrt{7}-4}{-2}$$

-4+2\sqrt{7} 除以 -2。

$$n=2-\sqrt{7}$$

现在 ± 为减号时求公式 n=\frac{-4±2\sqrt{7}}{-2} 的解。 将 -4 减去 2\sqrt{7}。

$$n=\frac{-2\sqrt{7}-4}{-2}$$

-4-2\sqrt{7} 除以 -2。

$$n=\sqrt{7}+2$$

现已求得方程式的解。

$$n=2-\sqrt{7} n=\sqrt{7}+2$$

用 2-\sqrt{7} 替代方程 \sqrt{4n+3}=n 中的 n。

$$\sqrt{4\left(2-\sqrt{7}\right)+3}=2-\sqrt{7}$$

化简。 n=2-\sqrt{7} 的值不满足公式，因为左侧和右侧具有相反的符号。

$$7^{\frac{1}{2}}-2=2-7^{\frac{1}{2}}$$

用 \sqrt{7}+2 替代方程 \sqrt{4n+3}=n 中的 n。

$$\sqrt{4\left(\sqrt{7}+2\right)+3}=\sqrt{7}+2$$

化简。 值 n=\sqrt{7}+2 满足公式。

$$2+7^{\frac{1}{2}}=2+7^{\frac{1}{2}}$$

公式 \sqrt{4n+3}=n 具有唯一解。

$$n=\sqrt{7}+2$$