求解 sqrt{2}+1-frac{1+sqrt{2}}{sqrt{2}+156}

$$\sqrt{ 2 } +1- \frac{ 1+ \sqrt{ 2 } }{ \sqrt{ 2 } +156 }$$

求值

$$\frac{24179\sqrt{2}}{24334}+\frac{12090}{12167}\approx 2.398876869$$

简短求解步骤

通过将分子和分母乘以 \sqrt{2}-156，使 \frac{1+\sqrt{2}}{\sqrt{2}+156} 的分母有理化

$$\sqrt{2}+1-\frac{\left(1+\sqrt{2}\right)\left(\sqrt{2}-156\right)}{\left(\sqrt{2}+156\right)\left(\sqrt{2}-156\right)}$$

请考虑 \left(\sqrt{2}+156\right)\left(\sqrt{2}-156\right)。 使用以下规则可将乘法转换为平方差: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}。

$$\sqrt{2}+1-\frac{\left(1+\sqrt{2}\right)\left(\sqrt{2}-156\right)}{\left(\sqrt{2}\right)^{2}-156^{2}}$$

对 \sqrt{2} 进行平方运算。 对 156 进行平方运算。

$$\sqrt{2}+1-\frac{\left(1+\sqrt{2}\right)\left(\sqrt{2}-156\right)}{2-24336}$$

将 2 减去 24336，得到 -24334。

$$\sqrt{2}+1-\frac{\left(1+\sqrt{2}\right)\left(\sqrt{2}-156\right)}{-24334}$$

应用分配律，将 1+\sqrt{2} 的每一项和 \sqrt{2}-156 的每一项分别相乘。

$$\sqrt{2}+1-\frac{\sqrt{2}-156+\left(\sqrt{2}\right)^{2}-156\sqrt{2}}{-24334}$$

\sqrt{2} 的平方是 2。

$$\sqrt{2}+1-\frac{\sqrt{2}-156+2-156\sqrt{2}}{-24334}$$

-156 与 2 相加，得到 -154。

$$\sqrt{2}+1-\frac{\sqrt{2}-154-156\sqrt{2}}{-24334}$$

合并 \sqrt{2} 和 -156\sqrt{2}，得到 -155\sqrt{2}。

$$\sqrt{2}+1-\frac{-155\sqrt{2}-154}{-24334}$$

将分子和分母同时乘以 -1。

$$\sqrt{2}+1-\frac{155\sqrt{2}+154}{24334}$$

若要对表达式执行加法或减法运算，请重写该表达式，使其分母相同。 求 \sqrt{2}+1 与 \frac{24334}{24334} 的乘积。

$$\frac{24334\left(\sqrt{2}+1\right)}{24334}-\frac{155\sqrt{2}+154}{24334}$$

由于 \frac{24334\left(\sqrt{2}+1\right)}{24334} 和 \frac{155\sqrt{2}+154}{24334} 具有相同的分母，可通过分子相减来求差。

$$\frac{24334\left(\sqrt{2}+1\right)-\left(155\sqrt{2}+154\right)}{24334}$$

完成 24334\left(\sqrt{2}+1\right)-\left(155\sqrt{2}+154\right) 中的乘法运算。

$$\frac{24334\sqrt{2}[phone]\sqrt{2}-154}{24334}$$

完成 24334\sqrt{2}[phone]\sqrt{2}-154 中的计算。

$$\frac{24179\sqrt{2}+24180}{24334}$$