求解 sqrt{1/2+1/4+1/8+1/16+frac{1}{2}x}=x

$$\sqrt{ \frac{ 1 }{ 2 } + \frac{ 1 }{ 4 } + \frac{ 1 }{ 8 } + \frac{ 1 }{ 16 } + \frac{ 1 }{ 2 } x } = x$$

求解 x 的值

$$x = \frac{5}{4} = 1\frac{1}{4} = 1.25$$

求解步骤

对方程式的两边同时进行平方运算。

$$\left(\sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{2}x}\right)^{2}=x^{2}$$

2 和 4 的最小公倍数是 4。将 \frac{1}{2} 和 \frac{1}{4} 转换为带分母 4 的分数。

$$\left(\sqrt{\frac{2}{4}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{2}x}\right)^{2}=x^{2}$$

由于 \frac{2}{4} 和 \frac{1}{4} 具有相同的分母，可通过分子相加来求和。

$$\left(\sqrt{\frac{2+1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{2}x}\right)^{2}=x^{2}$$

2 与 1 相加，得到 3。

$$\left(\sqrt{\frac{3}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{2}x}\right)^{2}=x^{2}$$

4 和 8 的最小公倍数是 8。将 \frac{3}{4} 和 \frac{1}{8} 转换为带分母 8 的分数。

$$\left(\sqrt{\frac{6}{8}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{2}x}\right)^{2}=x^{2}$$

由于 \frac{6}{8} 和 \frac{1}{8} 具有相同的分母，可通过分子相加来求和。

$$\left(\sqrt{\frac{6+1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{2}x}\right)^{2}=x^{2}$$

6 与 1 相加，得到 7。

$$\left(\sqrt{\frac{7}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{2}x}\right)^{2}=x^{2}$$

8 和 16 的最小公倍数是 16。将 \frac{7}{8} 和 \frac{1}{16} 转换为带分母 16 的分数。

$$\left(\sqrt{\frac{14}{16}+\frac{1}{16}+\frac{1}{2}x}\right)^{2}=x^{2}$$

由于 \frac{14}{16} 和 \frac{1}{16} 具有相同的分母，可通过分子相加来求和。

$$\left(\sqrt{\frac{14+1}{16}+\frac{1}{2}x}\right)^{2}=x^{2}$$

14 与 1 相加，得到 15。

$$\left(\sqrt{\frac{15}{16}+\frac{1}{2}x}\right)^{2}=x^{2}$$

计算 2 的 \sqrt{\frac{15}{16}+\frac{1}{2}x} 乘方，得到 \frac{15}{16}+\frac{1}{2}x。

$$\frac{15}{16}+\frac{1}{2}x=x^{2}$$

将方程式两边同时减去 x^{2}。

$$\frac{15}{16}+\frac{1}{2}x-x^{2}=0$$

形式为 ax^{2}+bx+c=0 的所有方程式均可求解，方法是使用二次公式来求解: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}。此二次公式可得到两个解，一个是当 ± 取加号时的解，另一个是取减号时的解。

$$-x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{15}{16}=0$$

此公式采用标准形式: ax^{2}+bx+c=0。在二次公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 中用 -1 替换 a，\frac{1}{2} 替换 b，并用 \frac{15}{16} 替换 c。

$$x=\frac{-\frac{1}{2}±\sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)^{2}-4\left(-1\right)\times \frac{15}{16}}}{2\left(-1\right)}$$

对 \frac{1}{2} 进行平方运算，方法是同时对该分数的分子和分母进行平方运算。

$$x=\frac{-\frac{1}{2}±\sqrt{\frac{1}{4}-4\left(-1\right)\times \frac{15}{16}}}{2\left(-1\right)}$$

求 -4 与 -1 的乘积。

$$x=\frac{-\frac{1}{2}±\sqrt{\frac{1}{4}+4\times \frac{15}{16}}}{2\left(-1\right)}$$

求 4 与 \frac{15}{16} 的乘积。

$$x=\frac{-\frac{1}{2}±\sqrt{\frac{1+15}{4}}}{2\left(-1\right)}$$

将 \frac{15}{4} 加上 \frac{1}{4}，计算方法是寻找公分母，加上各自的分子。然后将所得分数进行约分化为最简分数。

$$x=\frac{-\frac{1}{2}±\sqrt{4}}{2\left(-1\right)}$$

取 4 的平方根。

$$x=\frac{-\frac{1}{2}±2}{2\left(-1\right)}$$

求 2 与 -1 的乘积。

$$x=\frac{-\frac{1}{2}±2}{-2}$$

现在 ± 为加号时求公式 x=\frac{-\frac{1}{2}±2}{-2} 的解。 将 2 加上 -\frac{1}{2}。

$$x=\frac{\frac{3}{2}}{-2}$$

\frac{3}{2} 除以 -2。

$$x=-\frac{3}{4}$$

现在 ± 为减号时求公式 x=\frac{-\frac{1}{2}±2}{-2} 的解。 将 -\frac{1}{2} 减去 2。

$$x=-\frac{\frac{5}{2}}{-2}$$

-\frac{5}{2} 除以 -2。

$$x=\frac{5}{4}$$

现已求得方程式的解。

$$x=-\frac{3}{4} x=\frac{5}{4}$$

用 -\frac{3}{4} 替代方程 \sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{2}x}=x 中的 x。

$$\sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{2}\left(-\frac{3}{4}\right)}=-\frac{3}{4}$$

化简。 x=-\frac{3}{4} 的值不满足公式，因为左侧和右侧具有相反的符号。

$$\frac{3}{4}=-\frac{3}{4}$$

用 \frac{5}{4} 替代方程 \sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{2}x}=x 中的 x。

$$\sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{2}\times \frac{5}{4}}=\frac{5}{4}$$

化简。 值 x=\frac{5}{4} 满足公式。

$$\frac{5}{4}=\frac{5}{4}$$

公式 \sqrt{\frac{x}{2}+\frac{15}{16}}=x 具有唯一解。

$$x=\frac{5}{4}$$