求解 sqrt{x-3}+sqrt{2x-2}=2

$$\sqrt { x - 3 } + \sqrt { 2 x - 2 } = 2$$

求解 x 的值

$$x=3$$

求解步骤

将等式的两边同时减去 \sqrt{2x-2}。

$$\sqrt{x-3}=2-\sqrt{2x-2}$$

对方程式的两边同时进行平方运算。

$$\left(\sqrt{x-3}\right)^{2}=\left(2-\sqrt{2x-2}\right)^{2}$$

计算 2 的 \sqrt{x-3} 乘方，得到 x-3。

$$x-3=\left(2-\sqrt{2x-2}\right)^{2}$$

使用二项式定理 \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} 展开 \left(2-\sqrt{2x-2}\right)^{2}。

$$x-3=4-4\sqrt{2x-2}+\left(\sqrt{2x-2}\right)^{2}$$

计算 2 的 \sqrt{2x-2} 乘方，得到 2x-2。

$$x-3=4-4\sqrt{2x-2}+2x-2$$

将 4 减去 2，得到 2。

$$x-3=2-4\sqrt{2x-2}+2x$$

将等式的两边同时减去 2+2x。

$$x-3-\left(2+2x\right)=-4\sqrt{2x-2}$$

要查找 2+2x 的相反数，请查找每一项的相反数。

$$x-3-2-2x=-4\sqrt{2x-2}$$

将 -3 减去 2，得到 -5。

$$x-5-2x=-4\sqrt{2x-2}$$

合并 x 和 -2x，得到 -x。

$$-x-5=-4\sqrt{2x-2}$$

对方程式的两边同时进行平方运算。

$$\left(-x-5\right)^{2}=\left(-4\sqrt{2x-2}\right)^{2}$$

使用二项式定理 \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} 展开 \left(-x-5\right)^{2}。

$$x^{2}+10x+25=\left(-4\sqrt{2x-2}\right)^{2}$$

展开 \left(-4\sqrt{2x-2}\right)^{2}。

$$x^{2}+10x+25=\left(-4\right)^{2}\left(\sqrt{2x-2}\right)^{2}$$

计算 2 的 -4 乘方，得到 16。

$$x^{2}+10x+25=16\left(\sqrt{2x-2}\right)^{2}$$

计算 2 的 \sqrt{2x-2} 乘方，得到 2x-2。

$$x^{2}+10x+25=16\left(2x-2\right)$$

使用分配律将 16 乘以 2x-2。

$$x^{2}+10x+25=32x-32$$

将方程式两边同时减去 32x。

$$x^{2}+10x+25-32x=-32$$

合并 10x 和 -32x，得到 -22x。

$$x^{2}-22x+25=-32$$

将 32 添加到两侧。

$$x^{2}-22x+25+32=0$$

25 与 32 相加，得到 57。

$$x^{2}-22x+57=0$$

若要解公式，请使用公式 x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right) x^{2}-22x+57 因子。 若要查找 a 和 b，请设置要解决的系统。

$$a+b=-22 ab=57$$

由于 ab 是正数，a 并且 b 具有相同的符号。 因为 a+b 是负值，所以 a 和 b 均为负。 列出提供产品 57 的所有此类整数对。

$$-1,-57 -3,-19$$

计算每对之和。

$$-1-57=-58 -3-19=-22$$

该解答是总和为 -22 的对。

$$a=-19 b=-3$$

使用获取的值 \left(x+a\right)\left(x+b\right) 重写因式分解表达式。

$$\left(x-19\right)\left(x-3\right)$$

若要找到方程解，请解 x-19=0 和 x-3=0.

$$x=19 x=3$$

用 19 替代方程 \sqrt{x-3}+\sqrt{2x-2}=2 中的 x。

$$\sqrt{19-3}+\sqrt{2\times 19-2}=2$$

化简。 x=19 的值不满足公式。

$$10=2$$

用 3 替代方程 \sqrt{x-3}+\sqrt{2x-2}=2 中的 x。

$$\sqrt{3-3}+\sqrt{2\times 3-2}=2$$

化简。 值 x=3 满足公式。

$$2=2$$

公式 \sqrt{x-3}=-\sqrt{2x-2}+2 具有唯一解。

$$x=3$$