求解 sqrt{x-1}=x

$$\sqrt { x - 1 } = x$$

求解 x 的值 (复数求解)

$$x=\frac{1+\sqrt{3}i}{2}\approx 0.5+0.866025404i$$

求解步骤

对方程式的两边同时进行平方运算。

$$\left(\sqrt{x-1}\right)^{2}=x^{2}$$

计算 2 的 \sqrt{x-1} 乘方，得到 x-1。

$$x-1=x^{2}$$

将方程式两边同时减去 x^{2}。

$$x-1-x^{2}=0$$

形式为 ax^{2}+bx+c=0 的所有方程式均可求解，方法是使用二次公式来求解: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}。此二次公式可得到两个解，一个是当 ± 取加号时的解，另一个是取减号时的解。

$$-x^{2}+x-1=0$$

此公式采用标准形式: ax^{2}+bx+c=0。在二次公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 中用 -1 替换 a，1 替换 b，并用 -1 替换 c。

$$x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\left(-1\right)\left(-1\right)}}{2\left(-1\right)}$$

对 1 进行平方运算。

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-4\left(-1\right)\left(-1\right)}}{2\left(-1\right)}$$

求 -4 与 -1 的乘积。

$$x=\frac{-1±\sqrt{1+4\left(-1\right)}}{2\left(-1\right)}$$

求 4 与 -1 的乘积。

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-4}}{2\left(-1\right)}$$

将 -4 加上 1。

$$x=\frac{-1±\sqrt{-3}}{2\left(-1\right)}$$

取 -3 的平方根。

$$x=\frac{-1±\sqrt{3}i}{2\left(-1\right)}$$

求 2 与 -1 的乘积。

$$x=\frac{-1±\sqrt{3}i}{-2}$$

现在 ± 为加号时求公式 x=\frac{-1±\sqrt{3}i}{-2} 的解。 将 i\sqrt{3} 加上 -1。

$$x=\frac{-1+\sqrt{3}i}{-2}$$

-1+i\sqrt{3} 除以 -2。

$$x=\frac{-\sqrt{3}i+1}{2}$$

现在 ± 为减号时求公式 x=\frac{-1±\sqrt{3}i}{-2} 的解。 将 -1 减去 i\sqrt{3}。

$$x=\frac{-\sqrt{3}i-1}{-2}$$

-1-i\sqrt{3} 除以 -2。

$$x=\frac{1+\sqrt{3}i}{2}$$

现已求得方程式的解。

$$x=\frac{-\sqrt{3}i+1}{2} x=\frac{1+\sqrt{3}i}{2}$$

用 \frac{-\sqrt{3}i+1}{2} 替代方程 \sqrt{x-1}=x 中的 x。

$$\sqrt{\frac{-\sqrt{3}i+1}{2}-1}=\frac{-\sqrt{3}i+1}{2}$$

化简。 x=\frac{-\sqrt{3}i+1}{2} 的值不满足公式。

$$-\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{2}i\times 3^{\frac{1}{2}}\right)=-\frac{1}{2}i\times 3^{\frac{1}{2}}+\frac{1}{2}$$

用 \frac{1+\sqrt{3}i}{2} 替代方程 \sqrt{x-1}=x 中的 x。

$$\sqrt{\frac{1+\sqrt{3}i}{2}-1}=\frac{1+\sqrt{3}i}{2}$$

化简。 值 x=\frac{1+\sqrt{3}i}{2} 满足公式。

$$\frac{1}{2}+\frac{1}{2}i\times 3^{\frac{1}{2}}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}i\times 3^{\frac{1}{2}}$$

公式 \sqrt{x-1}=x 具有唯一解。

$$x=\frac{1+\sqrt{3}i}{2}$$