求解 sqrt{x^2-1}=sqrt{2x+1}

$$\sqrt { x ^ { 2 } - 1 } = \sqrt { 2 x + 1 }$$

求解 x 的值 (复数求解)

$$x=\sqrt{3}+1\approx 2.732050808$$

$$x=1-\sqrt{3}\approx -0.732050808$$

求解步骤

对方程式的两边同时进行平方运算。

$$\left(\sqrt{x^{2}-1}\right)^{2}=\left(\sqrt{2x+1}\right)^{2}$$

计算 2 的 \sqrt{x^{2}-1} 乘方，得到 x^{2}-1。

$$x^{2}-1=\left(\sqrt{2x+1}\right)^{2}$$

计算 2 的 \sqrt{2x+1} 乘方，得到 2x+1。

$$x^{2}-1=2x+1$$

将方程式两边同时减去 2x。

$$x^{2}-1-2x=1$$

将方程式两边同时减去 1。

$$x^{2}-1-2x-1=0$$

将 -1 减去 1，得到 -2。

$$x^{2}-2-2x=0$$

形式为 ax^{2}+bx+c=0 的所有方程式均可求解，方法是使用二次公式来求解: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}。此二次公式可得到两个解，一个是当 ± 取加号时的解，另一个是取减号时的解。

$$x^{2}-2x-2=0$$

此公式采用标准形式: ax^{2}+bx+c=0。在二次公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 中用 1 替换 a，-2 替换 b，并用 -2 替换 c。

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\left(-2\right)}}{2}$$

对 -2 进行平方运算。

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\left(-2\right)}}{2}$$

求 -4 与 -2 的乘积。

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4+8}}{2}$$

将 8 加上 4。

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{12}}{2}$$

取 12 的平方根。

$$x=\frac{-\left(-2\right)±2\sqrt{3}}{2}$$

-2 的相反数是 2。

$$x=\frac{2±2\sqrt{3}}{2}$$

现在 ± 为加号时求公式 x=\frac{2±2\sqrt{3}}{2} 的解。 将 2\sqrt{3} 加上 2。

$$x=\frac{2\sqrt{3}+2}{2}$$

2+2\sqrt{3} 除以 2。

$$x=\sqrt{3}+1$$

现在 ± 为减号时求公式 x=\frac{2±2\sqrt{3}}{2} 的解。 将 2 减去 2\sqrt{3}。

$$x=\frac{2-2\sqrt{3}}{2}$$

2-2\sqrt{3} 除以 2。

$$x=1-\sqrt{3}$$

现已求得方程式的解。

$$x=\sqrt{3}+1 x=1-\sqrt{3}$$

用 \sqrt{3}+1 替代方程 \sqrt{x^{2}-1}=\sqrt{2x+1} 中的 x。

$$\sqrt{\left(\sqrt{3}+1\right)^{2}-1}=\sqrt{2\left(\sqrt{3}+1\right)+1}$$

化简。 值 x=\sqrt{3}+1 满足公式。

$$\left(3+2\times 3^{\frac{1}{2}}\right)^{\frac{1}{2}}=\left(2\times 3^{\frac{1}{2}}+3\right)^{\frac{1}{2}}$$

用 1-\sqrt{3} 替代方程 \sqrt{x^{2}-1}=\sqrt{2x+1} 中的 x。

$$\sqrt{\left(1-\sqrt{3}\right)^{2}-1}=\sqrt{2\left(1-\sqrt{3}\right)+1}$$

化简。 值 x=1-\sqrt{3} 满足公式。

$$i\left(-\left(3-2\times 3^{\frac{1}{2}}\right)\right)^{\frac{1}{2}}=i\left(-\left(3-2\times 3^{\frac{1}{2}}\right)\right)^{\frac{1}{2}}$$

列出 \sqrt{x^{2}-1}=\sqrt{2x+1} 的所有解。

$$x=\sqrt{3}+1 x=1-\sqrt{3}$$

求解 x 的值

$$x=\sqrt{3}+1\approx 2.732050808$$

求解步骤

对方程式的两边同时进行平方运算。

$$\left(\sqrt{x^{2}-1}\right)^{2}=\left(\sqrt{2x+1}\right)^{2}$$

计算 2 的 \sqrt{x^{2}-1} 乘方，得到 x^{2}-1。

$$x^{2}-1=\left(\sqrt{2x+1}\right)^{2}$$

计算 2 的 \sqrt{2x+1} 乘方，得到 2x+1。

$$x^{2}-1=2x+1$$

将方程式两边同时减去 2x。

$$x^{2}-1-2x=1$$

将方程式两边同时减去 1。

$$x^{2}-1-2x-1=0$$

将 -1 减去 1，得到 -2。

$$x^{2}-2-2x=0$$

形式为 ax^{2}+bx+c=0 的所有方程式均可求解，方法是使用二次公式来求解: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}。此二次公式可得到两个解，一个是当 ± 取加号时的解，另一个是取减号时的解。

$$x^{2}-2x-2=0$$

此公式采用标准形式: ax^{2}+bx+c=0。在二次公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 中用 1 替换 a，-2 替换 b，并用 -2 替换 c。

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\left(-2\right)}}{2}$$

对 -2 进行平方运算。

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\left(-2\right)}}{2}$$

求 -4 与 -2 的乘积。

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4+8}}{2}$$

将 8 加上 4。

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{12}}{2}$$

取 12 的平方根。

$$x=\frac{-\left(-2\right)±2\sqrt{3}}{2}$$

-2 的相反数是 2。

$$x=\frac{2±2\sqrt{3}}{2}$$

现在 ± 为加号时求公式 x=\frac{2±2\sqrt{3}}{2} 的解。 将 2\sqrt{3} 加上 2。

$$x=\frac{2\sqrt{3}+2}{2}$$

2+2\sqrt{3} 除以 2。

$$x=\sqrt{3}+1$$

现在 ± 为减号时求公式 x=\frac{2±2\sqrt{3}}{2} 的解。 将 2 减去 2\sqrt{3}。

$$x=\frac{2-2\sqrt{3}}{2}$$

2-2\sqrt{3} 除以 2。

$$x=1-\sqrt{3}$$

现已求得方程式的解。

$$x=\sqrt{3}+1 x=1-\sqrt{3}$$

用 \sqrt{3}+1 替代方程 \sqrt{x^{2}-1}=\sqrt{2x+1} 中的 x。

$$\sqrt{\left(\sqrt{3}+1\right)^{2}-1}=\sqrt{2\left(\sqrt{3}+1\right)+1}$$

化简。 值 x=\sqrt{3}+1 满足公式。

$$\left(3+2\times 3^{\frac{1}{2}}\right)^{\frac{1}{2}}=\left(2\times 3^{\frac{1}{2}}+3\right)^{\frac{1}{2}}$$

用 1-\sqrt{3} 替代方程 \sqrt{x^{2}-1}=\sqrt{2x+1} 中的 x。 表达式 \sqrt{\left(1-\sqrt{3}\right)^{2}-1} 未定义，因为 radicand 不能为负。

$$\sqrt{\left(1-\sqrt{3}\right)^{2}-1}=\sqrt{2\left(1-\sqrt{3}\right)+1}$$

公式 \sqrt{x^{2}-1}=\sqrt{2x+1} 具有唯一解。

$$x=\sqrt{3}+1$$