求解 sqrt{x+6}-sqrt{9x+70}=-2sqrt{x+9}

$$\sqrt { x + 6 } - \sqrt { 9 x + 70 } = - 2 \sqrt { x + 9 }$$

求解 x 的值

$$x=-5$$

求解步骤

对方程式的两边同时进行平方运算。

$$\left(\sqrt{x+6}-\sqrt{9x+70}\right)^{2}=\left(-2\sqrt{x+9}\right)^{2}$$

使用二项式定理 \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} 展开 \left(\sqrt{x+6}-\sqrt{9x+70}\right)^{2}。

$$\left(\sqrt{x+6}\right)^{2}-2\sqrt{x+6}\sqrt{9x+70}+\left(\sqrt{9x+70}\right)^{2}=\left(-2\sqrt{x+9}\right)^{2}$$

计算 2 的 \sqrt{x+6} 乘方，得到 x+6。

$$x+6-2\sqrt{x+6}\sqrt{9x+70}+\left(\sqrt{9x+70}\right)^{2}=\left(-2\sqrt{x+9}\right)^{2}$$

计算 2 的 \sqrt{9x+70} 乘方，得到 9x+70。

$$x+6-2\sqrt{x+6}\sqrt{9x+70}+9x+70=\left(-2\sqrt{x+9}\right)^{2}$$

合并 x 和 9x，得到 10x。

$$10x+6-2\sqrt{x+6}\sqrt{9x+70}+70=\left(-2\sqrt{x+9}\right)^{2}$$

6 与 70 相加，得到 76。

$$10x+76-2\sqrt{x+6}\sqrt{9x+70}=\left(-2\sqrt{x+9}\right)^{2}$$

展开 \left(-2\sqrt{x+9}\right)^{2}。

$$10x+76-2\sqrt{x+6}\sqrt{9x+70}=\left(-2\right)^{2}\left(\sqrt{x+9}\right)^{2}$$

计算 2 的 -2 乘方，得到 4。

$$10x+76-2\sqrt{x+6}\sqrt{9x+70}=4\left(\sqrt{x+9}\right)^{2}$$

计算 2 的 \sqrt{x+9} 乘方，得到 x+9。

$$10x+76-2\sqrt{x+6}\sqrt{9x+70}=4\left(x+9\right)$$

使用分配律将 4 乘以 x+9。

$$10x+76-2\sqrt{x+6}\sqrt{9x+70}=4x+36$$

将等式的两边同时减去 10x+76。

$$-2\sqrt{x+6}\sqrt{9x+70}=4x+36-\left(10x+76\right)$$

要查找 10x+76 的相反数，请查找每一项的相反数。

$$-2\sqrt{x+6}\sqrt{9x+70}=4x+36-10x-76$$

合并 4x 和 -10x，得到 -6x。

$$-2\sqrt{x+6}\sqrt{9x+70}=-6x+36-76$$

将 36 减去 76，得到 -40。

$$-2\sqrt{x+6}\sqrt{9x+70}=-6x-40$$

对方程式的两边同时进行平方运算。

$$\left(-2\sqrt{x+6}\sqrt{9x+70}\right)^{2}=\left(-6x-40\right)^{2}$$

展开 \left(-2\sqrt{x+6}\sqrt{9x+70}\right)^{2}。

$$\left(-2\right)^{2}\left(\sqrt{x+6}\right)^{2}\left(\sqrt{9x+70}\right)^{2}=\left(-6x-40\right)^{2}$$

计算 2 的 -2 乘方，得到 4。

$$4\left(\sqrt{x+6}\right)^{2}\left(\sqrt{9x+70}\right)^{2}=\left(-6x-40\right)^{2}$$

计算 2 的 \sqrt{x+6} 乘方，得到 x+6。

$$4\left(x+6\right)\left(\sqrt{9x+70}\right)^{2}=\left(-6x-40\right)^{2}$$

计算 2 的 \sqrt{9x+70} 乘方，得到 9x+70。

$$4\left(x+6\right)\left(9x+70\right)=\left(-6x-40\right)^{2}$$

使用分配律将 4 乘以 x+6。

$$\left(4x+24\right)\left(9x+70\right)=\left(-6x-40\right)^{2}$$

应用分配律，将 4x+24 的每一项和 9x+70 的每一项分别相乘。

$$36x^{2}+280x+216x+1680=\left(-6x-40\right)^{2}$$

合并 280x 和 216x，得到 496x。

$$36x^{2}+496x+1680=\left(-6x-40\right)^{2}$$

使用二项式定理 \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} 展开 \left(-6x-40\right)^{2}。

$$36x^{2}+496x+1680=36x^{2}+480x+1600$$

将方程式两边同时减去 36x^{2}。

$$36x^{2}+496x+1680-36x^{2}=480x+1600$$

合并 36x^{2} 和 -36x^{2}，得到 0。

$$496x+1680=480x+1600$$

将方程式两边同时减去 480x。

$$496x+1680-480x=1600$$

合并 496x 和 -480x，得到 16x。

$$16x+1680=1600$$

将方程式两边同时减去 1680。

$$16x=1600-1680$$

将 1600 减去 1680，得到 -80。

$$16x=-80$$

两边同时除以 16。

$$x=\frac{-80}{16}$$

-80 除以 16 得 -5。

$$x=-5$$

用 -5 替代方程 \sqrt{x+6}-\sqrt{9x+70}=-2\sqrt{x+9} 中的 x。

$$\sqrt{-5+6}-\sqrt{9\left(-5\right)+70}=-2\sqrt{-5+9}$$

化简。 值 x=-5 满足公式。

$$-4=-4$$

公式 \sqrt{x+6}-\sqrt{9x+70}=-2\sqrt{x+9} 具有唯一解。

$$x=-5$$