求解 sqrt{x+5}+sqrt{2x+8}=1

$$\sqrt { x + 5 } + \sqrt { 2 x + 8 } = 1$$

求解 x 的值

$$x=-4$$

求解步骤

将等式的两边同时减去 \sqrt{2x+8}。

$$\sqrt{x+5}=1-\sqrt{2x+8}$$

对方程式的两边同时进行平方运算。

$$\left(\sqrt{x+5}\right)^{2}=\left(1-\sqrt{2x+8}\right)^{2}$$

计算 2 的 \sqrt{x+5} 乘方，得到 x+5。

$$x+5=\left(1-\sqrt{2x+8}\right)^{2}$$

使用二项式定理 \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} 展开 \left(1-\sqrt{2x+8}\right)^{2}。

$$x+5=1-2\sqrt{2x+8}+\left(\sqrt{2x+8}\right)^{2}$$

计算 2 的 \sqrt{2x+8} 乘方，得到 2x+8。

$$x+5=1-2\sqrt{2x+8}+2x+8$$

1 与 8 相加，得到 9。

$$x+5=9-2\sqrt{2x+8}+2x$$

将等式的两边同时减去 9+2x。

$$x+5-\left(9+2x\right)=-2\sqrt{2x+8}$$

要查找 9+2x 的相反数，请查找每一项的相反数。

$$x+5-9-2x=-2\sqrt{2x+8}$$

将 5 减去 9，得到 -4。

$$x-4-2x=-2\sqrt{2x+8}$$

合并 x 和 -2x，得到 -x。

$$-x-4=-2\sqrt{2x+8}$$

对方程式的两边同时进行平方运算。

$$\left(-x-4\right)^{2}=\left(-2\sqrt{2x+8}\right)^{2}$$

使用二项式定理 \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} 展开 \left(-x-4\right)^{2}。

$$x^{2}+8x+16=\left(-2\sqrt{2x+8}\right)^{2}$$

展开 \left(-2\sqrt{2x+8}\right)^{2}。

$$x^{2}+8x+16=\left(-2\right)^{2}\left(\sqrt{2x+8}\right)^{2}$$

计算 2 的 -2 乘方，得到 4。

$$x^{2}+8x+16=4\left(\sqrt{2x+8}\right)^{2}$$

计算 2 的 \sqrt{2x+8} 乘方，得到 2x+8。

$$x^{2}+8x+16=4\left(2x+8\right)$$

使用分配律将 4 乘以 2x+8。

$$x^{2}+8x+16=8x+32$$

将方程式两边同时减去 8x。

$$x^{2}+8x+16-8x=32$$

合并 8x 和 -8x，得到 0。

$$x^{2}+16=32$$

将方程式两边同时减去 32。

$$x^{2}+16-32=0$$

将 16 减去 32，得到 -16。

$$x^{2}-16=0$$

请考虑 x^{2}-16。 将 x^{2}-16 改写为 x^{2}-4^{2}。 可使用以下规则对平方差进行因式分解: a^{2}-b^{2}=\left(a-b\right)\left(a+b\right)。

$$\left(x-4\right)\left(x+4\right)=0$$

若要找到方程解，请解 x-4=0 和 x+4=0.

$$x=4 x=-4$$

用 4 替代方程 \sqrt{x+5}+\sqrt{2x+8}=1 中的 x。

$$\sqrt{4+5}+\sqrt{2\times 4+8}=1$$

化简。 x=4 的值不满足公式。

$$7=1$$

用 -4 替代方程 \sqrt{x+5}+\sqrt{2x+8}=1 中的 x。

$$\sqrt{-4+5}+\sqrt{2\left(-4\right)+8}=1$$

化简。 值 x=-4 满足公式。

$$1=1$$

公式 \sqrt{x+5}=-\sqrt{2x+8}+1 具有唯一解。

$$x=-4$$