求解 sqrt{a^2-4a+20}=sqrt{a}

$$\sqrt { a ^ { 2 } - 4 a + 20 } = \sqrt { a }$$

求解 a 的值

$$a=2\sqrt{5}e^{\arctan(\frac{\sqrt{55}}{5})i}\approx 2.5+3.708099244i$$

求解步骤

对方程式的两边同时进行平方运算。

$$\left(\sqrt{a^{2}-4a+20}\right)^{2}=\left(\sqrt{a}\right)^{2}$$

计算 2 的 \sqrt{a^{2}-4a+20} 乘方，得到 a^{2}-4a+20。

$$a^{2}-4a+20=\left(\sqrt{a}\right)^{2}$$

计算 2 的 \sqrt{a} 乘方，得到 a。

$$a^{2}-4a+20=a$$

将方程式两边同时减去 a。

$$a^{2}-4a+20-a=0$$

合并 -4a 和 -a，得到 -5a。

$$a^{2}-5a+20=0$$

此公式采用标准形式: ax^{2}+bx+c=0。在二次公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 中用 1 替换 a，-5 替换 b，并用 20 替换 c。

$$a=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\times 20}}{2}$$

对 -5 进行平方运算。

$$a=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\times 20}}{2}$$

求 -4 与 20 的乘积。

$$a=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-80}}{2}$$

将 -80 加上 25。

$$a=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{-55}}{2}$$

取 -55 的平方根。

$$a=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{55}i}{2}$$

-5 的相反数是 5。

$$a=\frac{5±\sqrt{55}i}{2}$$

现在 ± 为加号时求公式 a=\frac{5±\sqrt{55}i}{2} 的解。 将 i\sqrt{55} 加上 5。

$$a=\frac{5+\sqrt{55}i}{2}$$

现在 ± 为减号时求公式 a=\frac{5±\sqrt{55}i}{2} 的解。 将 5 减去 i\sqrt{55}。

$$a=\frac{-\sqrt{55}i+5}{2}$$

现已求得方程式的解。

$$a=\frac{5+\sqrt{55}i}{2} a=\frac{-\sqrt{55}i+5}{2}$$

用 \frac{5+\sqrt{55}i}{2} 替代方程 \sqrt{a^{2}-4a+20}=\sqrt{a} 中的 a。

$$\sqrt{\left(\frac{5+\sqrt{55}i}{2}\right)^{2}-4\times \frac{5+\sqrt{55}i}{2}+20}=\sqrt{\frac{5+\sqrt{55}i}{2}}$$

化简。 值 a=\frac{5+\sqrt{55}i}{2} 满足公式。

$$\frac{1}{2}\left(10+2i\times 55^{\frac{1}{2}}\right)^{\frac{1}{2}}=\left(\frac{5}{2}+\frac{1}{2}i\times 55^{\frac{1}{2}}\right)^{\frac{1}{2}}$$

用 \frac{-\sqrt{55}i+5}{2} 替代方程 \sqrt{a^{2}-4a+20}=\sqrt{a} 中的 a。

$$\sqrt{\left(\frac{-\sqrt{55}i+5}{2}\right)^{2}-4\times \frac{-\sqrt{55}i+5}{2}+20}=\sqrt{\frac{-\sqrt{55}i+5}{2}}$$

化简。 值 a=\frac{-\sqrt{55}i+5}{2} 满足公式。

$$\frac{1}{2}\left(10-2i\times 55^{\frac{1}{2}}\right)^{\frac{1}{2}}=\left(-\frac{1}{2}i\times 55^{\frac{1}{2}}+\frac{5}{2}\right)^{\frac{1}{2}}$$

列出 \sqrt{a^{2}-4a+20}=\sqrt{a} 的所有解。

$$a=\frac{5+\sqrt{55}i}{2} a=\frac{-\sqrt{55}i+5}{2}$$