求解 sqrt{6x-1}-sqrt{5x+4}=9

$$\sqrt { 6 x - 1 } - \sqrt { 5 x + 4 } = 9$$

求解 x 的值

$$x=18\sqrt{2459}+896\approx 1788.589491312$$

求解步骤

将等式的两边同时减去 -\sqrt{5x+4}。

$$\sqrt{6x-1}=9+\sqrt{5x+4}$$

对方程式的两边同时进行平方运算。

$$\left(\sqrt{6x-1}\right)^{2}=\left(9+\sqrt{5x+4}\right)^{2}$$

计算 2 的 \sqrt{6x-1} 乘方，得到 6x-1。

$$6x-1=\left(9+\sqrt{5x+4}\right)^{2}$$

使用二项式定理 \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} 展开 \left(9+\sqrt{5x+4}\right)^{2}。

$$6x-1=81+18\sqrt{5x+4}+\left(\sqrt{5x+4}\right)^{2}$$

计算 2 的 \sqrt{5x+4} 乘方，得到 5x+4。

$$6x-1=81+18\sqrt{5x+4}+5x+4$$

81 与 4 相加，得到 85。

$$6x-1=85+18\sqrt{5x+4}+5x$$

将等式的两边同时减去 85+5x。

$$6x-1-\left(85+5x\right)=18\sqrt{5x+4}$$

要查找 85+5x 的相反数，请查找每一项的相反数。

$$6x-1-85-5x=18\sqrt{5x+4}$$

将 -1 减去 85，得到 -86。

$$6x-86-5x=18\sqrt{5x+4}$$

合并 6x 和 -5x，得到 x。

$$x-86=18\sqrt{5x+4}$$

对方程式的两边同时进行平方运算。

$$\left(x-86\right)^{2}=\left(18\sqrt{5x+4}\right)^{2}$$

使用二项式定理 \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} 展开 \left(x-86\right)^{2}。

$$x^{2}-172x+7396=\left(18\sqrt{5x+4}\right)^{2}$$

展开 \left(18\sqrt{5x+4}\right)^{2}。

$$x^{2}-172x+7396=18^{2}\left(\sqrt{5x+4}\right)^{2}$$

计算 2 的 18 乘方，得到 324。

$$x^{2}-172x+7396=324\left(\sqrt{5x+4}\right)^{2}$$

计算 2 的 \sqrt{5x+4} 乘方，得到 5x+4。

$$x^{2}-172x+7396=324\left(5x+4\right)$$

使用分配律将 324 乘以 5x+4。

$$x^{2}-172x+7396=1620x+1296$$

将方程式两边同时减去 1620x。

$$x^{2}-172x+7396-1620x=1296$$

合并 -172x 和 -1620x，得到 -1792x。

$$x^{2}-1792x+7396=1296$$

将方程式两边同时减去 1296。

$$x^{2}-1792x+7396-1296=0$$

将 7396 减去 1296，得到 6100。

$$x^{2}-1792x+6100=0$$

此公式采用标准形式: ax^{2}+bx+c=0。在二次公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 中用 1 替换 a，-1792 替换 b，并用 6100 替换 c。

$$x=\frac{-\left(-1792\right)±\sqrt{\left(-1792\right)^{2}-4\times 6100}}{2}$$

对 -1792 进行平方运算。

$$x=\frac{-\left(-1792\right)±\sqrt{3211264-4\times 6100}}{2}$$

求 -4 与 6100 的乘积。

$$x=\frac{-\left(-1792\right)±\sqrt{3211264-24400}}{2}$$

将 -24400 加上 3211264。

$$x=\frac{-\left(-1792\right)±\sqrt{3186864}}{2}$$

取 3186864 的平方根。

$$x=\frac{-\left(-1792\right)±36\sqrt{2459}}{2}$$

-1792 的相反数是 1792。

$$x=\frac{1792±36\sqrt{2459}}{2}$$

现在 ± 为加号时求公式 x=\frac{1792±36\sqrt{2459}}{2} 的解。 将 36\sqrt{2459} 加上 1792。

$$x=\frac{36\sqrt{2459}+1792}{2}$$

1792+36\sqrt{2459} 除以 2。

$$x=18\sqrt{2459}+896$$

现在 ± 为减号时求公式 x=\frac{1792±36\sqrt{2459}}{2} 的解。 将 1792 减去 36\sqrt{2459}。

$$x=\frac{1792-36\sqrt{2459}}{2}$$

1792-36\sqrt{2459} 除以 2。

$$x=896-18\sqrt{2459}$$

现已求得方程式的解。

$$x=18\sqrt{2459}+896 x=896-18\sqrt{2459}$$

用 18\sqrt{2459}+896 替代方程 \sqrt{6x-1}-\sqrt{5x+4}=9 中的 x。

$$\sqrt{6\left(18\sqrt{2459}+896\right)-1}-\sqrt{5\left(18\sqrt{2459}+896\right)+4}=9$$

化简。 值 x=18\sqrt{2459}+896 满足公式。

$$9=9$$

用 896-18\sqrt{2459} 替代方程 \sqrt{6x-1}-\sqrt{5x+4}=9 中的 x。

$$\sqrt{6\left(896-18\sqrt{2459}\right)-1}-\sqrt{5\left(896-18\sqrt{2459}\right)+4}=9$$

化简。 x=896-18\sqrt{2459} 的值不满足公式，因为左侧和右侧具有相反的符号。

$$99-2\times 2459^{\frac{1}{2}}=9$$

用 18\sqrt{2459}+896 替代方程 \sqrt{6x-1}-\sqrt{5x+4}=9 中的 x。

$$\sqrt{6\left(18\sqrt{2459}+896\right)-1}-\sqrt{5\left(18\sqrt{2459}+896\right)+4}=9$$

化简。 值 x=18\sqrt{2459}+896 满足公式。

$$9=9$$

公式 \sqrt{6x-1}=\sqrt{5x+4}+9 具有唯一解。

$$x=18\sqrt{2459}+896$$