求解 sqrt{5x-6}-sqrt{x-2}=2

$$\sqrt { 5 x - 6 } - \sqrt { x - 2 } = 2$$

求解 x 的值

$$x=3$$

$$x=2$$

求解步骤

将等式的两边同时减去 -\sqrt{x-2}。

$$\sqrt{5x-6}=2+\sqrt{x-2}$$

对方程式的两边同时进行平方运算。

$$\left(\sqrt{5x-6}\right)^{2}=\left(2+\sqrt{x-2}\right)^{2}$$

计算 2 的 \sqrt{5x-6} 乘方，得到 5x-6。

$$5x-6=\left(2+\sqrt{x-2}\right)^{2}$$

使用二项式定理 \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} 展开 \left(2+\sqrt{x-2}\right)^{2}。

$$5x-6=4+4\sqrt{x-2}+\left(\sqrt{x-2}\right)^{2}$$

计算 2 的 \sqrt{x-2} 乘方，得到 x-2。

$$5x-6=4+4\sqrt{x-2}+x-2$$

将 4 减去 2，得到 2。

$$5x-6=2+4\sqrt{x-2}+x$$

将等式的两边同时减去 2+x。

$$5x-6-\left(2+x\right)=4\sqrt{x-2}$$

要查找 2+x 的相反数，请查找每一项的相反数。

$$5x-6-2-x=4\sqrt{x-2}$$

将 -6 减去 2，得到 -8。

$$5x-8-x=4\sqrt{x-2}$$

合并 5x 和 -x，得到 4x。

$$4x-8=4\sqrt{x-2}$$

对方程式的两边同时进行平方运算。

$$\left(4x-8\right)^{2}=\left(4\sqrt{x-2}\right)^{2}$$

使用二项式定理 \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} 展开 \left(4x-8\right)^{2}。

$$16x^{2}-64x+64=\left(4\sqrt{x-2}\right)^{2}$$

展开 \left(4\sqrt{x-2}\right)^{2}。

$$16x^{2}-64x+64=4^{2}\left(\sqrt{x-2}\right)^{2}$$

计算 2 的 4 乘方，得到 16。

$$16x^{2}-64x+64=16\left(\sqrt{x-2}\right)^{2}$$

计算 2 的 \sqrt{x-2} 乘方，得到 x-2。

$$16x^{2}-64x+64=16\left(x-2\right)$$

使用分配律将 16 乘以 x-2。

$$16x^{2}-64x+64=16x-32$$

将方程式两边同时减去 16x。

$$16x^{2}-64x+64-16x=-32$$

合并 -64x 和 -16x，得到 -80x。

$$16x^{2}-80x+64=-32$$

将 32 添加到两侧。

$$16x^{2}-80x+64+32=0$$

64 与 32 相加，得到 96。

$$16x^{2}-80x+96=0$$

此公式采用标准形式: ax^{2}+bx+c=0。在二次公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 中用 16 替换 a，-80 替换 b，并用 96 替换 c。

$$x=\frac{-\left(-80\right)±\sqrt{\left(-80\right)^{2}-4\times 16\times 96}}{2\times 16}$$

对 -80 进行平方运算。

$$x=\frac{-\left(-80\right)±\sqrt{6400-4\times 16\times 96}}{2\times 16}$$

求 -4 与 16 的乘积。

$$x=\frac{-\left(-80\right)±\sqrt{6400-64\times 96}}{2\times 16}$$

求 -64 与 96 的乘积。

$$x=\frac{-\left(-80\right)±\sqrt{6400-6144}}{2\times 16}$$

将 -6144 加上 6400。

$$x=\frac{-\left(-80\right)±\sqrt{256}}{2\times 16}$$

取 256 的平方根。

$$x=\frac{-\left(-80\right)±16}{2\times 16}$$

-80 的相反数是 80。

$$x=\frac{80±16}{2\times 16}$$

求 2 与 16 的乘积。

$$x=\frac{80±16}{32}$$

现在 ± 为加号时求公式 x=\frac{80±16}{32} 的解。 将 16 加上 80。

$$x=\frac{96}{32}$$

96 除以 32。

$$x=3$$

现在 ± 为减号时求公式 x=\frac{80±16}{32} 的解。 将 80 减去 16。

$$x=\frac{64}{32}$$

64 除以 32。

$$x=2$$

现已求得方程式的解。

$$x=3 x=2$$

用 3 替代方程 \sqrt{5x-6}-\sqrt{x-2}=2 中的 x。

$$\sqrt{5\times 3-6}-\sqrt{3-2}=2$$

化简。 值 x=3 满足公式。

$$2=2$$

用 2 替代方程 \sqrt{5x-6}-\sqrt{x-2}=2 中的 x。

$$\sqrt{5\times 2-6}-\sqrt{2-2}=2$$

化简。 值 x=2 满足公式。

$$2=2$$

列出 \sqrt{5x-6}=\sqrt{x-2}+2 的所有解。

$$x=3 x=2$$