求解 sqrt{5x-1}-sqrt{3x-2}=sqrt{x-1}

$$\sqrt { 5 x - 1 } - \sqrt { 3 x - 2 } = \sqrt { x - 1 }$$

求解 x 的值

$$x=2$$

求解步骤

对方程式的两边同时进行平方运算。

$$\left(\sqrt{5x-1}-\sqrt{3x-2}\right)^{2}=\left(\sqrt{x-1}\right)^{2}$$

使用二项式定理 \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} 展开 \left(\sqrt{5x-1}-\sqrt{3x-2}\right)^{2}。

$$\left(\sqrt{5x-1}\right)^{2}-2\sqrt{5x-1}\sqrt{3x-2}+\left(\sqrt{3x-2}\right)^{2}=\left(\sqrt{x-1}\right)^{2}$$

计算 2 的 \sqrt{5x-1} 乘方，得到 5x-1。

$$5x-1-2\sqrt{5x-1}\sqrt{3x-2}+\left(\sqrt{3x-2}\right)^{2}=\left(\sqrt{x-1}\right)^{2}$$

计算 2 的 \sqrt{3x-2} 乘方，得到 3x-2。

$$5x-1-2\sqrt{5x-1}\sqrt{3x-2}+3x-2=\left(\sqrt{x-1}\right)^{2}$$

合并 5x 和 3x，得到 8x。

$$8x-1-2\sqrt{5x-1}\sqrt{3x-2}-2=\left(\sqrt{x-1}\right)^{2}$$

将 -1 减去 2，得到 -3。

$$8x-3-2\sqrt{5x-1}\sqrt{3x-2}=\left(\sqrt{x-1}\right)^{2}$$

计算 2 的 \sqrt{x-1} 乘方，得到 x-1。

$$8x-3-2\sqrt{5x-1}\sqrt{3x-2}=x-1$$

将等式的两边同时减去 8x-3。

$$-2\sqrt{5x-1}\sqrt{3x-2}=x-1-\left(8x-3\right)$$

要查找 8x-3 的相反数，请查找每一项的相反数。

$$-2\sqrt{5x-1}\sqrt{3x-2}=x-1-8x+3$$

合并 x 和 -8x，得到 -7x。

$$-2\sqrt{5x-1}\sqrt{3x-2}=-7x-1+3$$

-1 与 3 相加，得到 2。

$$-2\sqrt{5x-1}\sqrt{3x-2}=-7x+2$$

对方程式的两边同时进行平方运算。

$$\left(-2\sqrt{5x-1}\sqrt{3x-2}\right)^{2}=\left(-7x+2\right)^{2}$$

展开 \left(-2\sqrt{5x-1}\sqrt{3x-2}\right)^{2}。

$$\left(-2\right)^{2}\left(\sqrt{5x-1}\right)^{2}\left(\sqrt{3x-2}\right)^{2}=\left(-7x+2\right)^{2}$$

计算 2 的 -2 乘方，得到 4。

$$4\left(\sqrt{5x-1}\right)^{2}\left(\sqrt{3x-2}\right)^{2}=\left(-7x+2\right)^{2}$$

计算 2 的 \sqrt{5x-1} 乘方，得到 5x-1。

$$4\left(5x-1\right)\left(\sqrt{3x-2}\right)^{2}=\left(-7x+2\right)^{2}$$

计算 2 的 \sqrt{3x-2} 乘方，得到 3x-2。

$$4\left(5x-1\right)\left(3x-2\right)=\left(-7x+2\right)^{2}$$

使用分配律将 4 乘以 5x-1。

$$\left(20x-4\right)\left(3x-2\right)=\left(-7x+2\right)^{2}$$

应用分配律，将 20x-4 的每一项和 3x-2 的每一项分别相乘。

$$60x^{2}-40x-12x+8=\left(-7x+2\right)^{2}$$

合并 -40x 和 -12x，得到 -52x。

$$60x^{2}-52x+8=\left(-7x+2\right)^{2}$$

使用二项式定理 \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} 展开 \left(-7x+2\right)^{2}。

$$60x^{2}-52x+8=49x^{2}-28x+4$$

将方程式两边同时减去 49x^{2}。

$$60x^{2}-52x+8-49x^{2}=-28x+4$$

合并 60x^{2} 和 -49x^{2}，得到 11x^{2}。

$$11x^{2}-52x+8=-28x+4$$

将 28x 添加到两侧。

$$11x^{2}-52x+8+28x=4$$

合并 -52x 和 28x，得到 -24x。

$$11x^{2}-24x+8=4$$

将方程式两边同时减去 4。

$$11x^{2}-24x+8-4=0$$

将 8 减去 4，得到 4。

$$11x^{2}-24x+4=0$$

要求解公式，请通过分组对左侧进行因式分解。首先，左侧需要重写成 11x^{2}+ax+bx+4。 若要查找 a 和 b，请设置要解决的系统。

$$a+b=-24 ab=11\times 4=44$$

由于 ab 是正数，a 并且 b 具有相同的符号。 因为 a+b 是负值，所以 a 和 b 均为负。 列出提供产品 44 的所有此类整数对。

$$-1,-44 -2,-22 -4,-11$$

计算每对之和。

$$-1-44=-45 -2-22=-24 -4-11=-15$$

该解答是总和为 -24 的对。

$$a=-22 b=-2$$

将 11x^{2}-24x+4 改写为 \left(11x^{2}-22x\right)+\left(-2x+4\right)。

$$\left(11x^{2}-22x\right)+\left(-2x+4\right)$$

将 11x 放在第二个组中的第一个和 -2 中。

$$11x\left(x-2\right)-2\left(x-2\right)$$

通过使用分布式属性分解出共同项 x-2。

$$\left(x-2\right)\left(11x-2\right)$$

若要找到方程解，请解 x-2=0 和 11x-2=0.

$$x=2 x=\frac{2}{11}$$

用 \frac{2}{11} 替代方程 \sqrt{5x-1}-\sqrt{3x-2}=\sqrt{x-1} 中的 x。 表达式 \sqrt{5\times \frac{2}{11}-1} 未定义，因为 radicand 不能为负。

$$\sqrt{5\times \frac{2}{11}-1}-\sqrt{3\times \frac{2}{11}-2}=\sqrt{\frac{2}{11}-1}$$

用 2 替代方程 \sqrt{5x-1}-\sqrt{3x-2}=\sqrt{x-1} 中的 x。

$$\sqrt{5\times 2-1}-\sqrt{3\times 2-2}=\sqrt{2-1}$$

化简。 值 x=2 满足公式。

$$1=1$$

公式 \sqrt{5x-1}-\sqrt{3x-2}=\sqrt{x-1} 具有唯一解。

$$x=2$$