求解 sqrt{3x+4}=3x+1/2

$$\sqrt { 3 x + 4 } = \frac { 3 x + 1 } { 2 }$$

求解 x 的值

$$x = \frac{5}{3} = 1\frac{2}{3} \approx 1.666666667$$

求解步骤

对方程式的两边同时进行平方运算。

$$\left(\sqrt{3x+4}\right)^{2}=\left(\frac{3x+1}{2}\right)^{2}$$

计算 2 的 \sqrt{3x+4} 乘方，得到 3x+4。

$$3x+4=\left(\frac{3x+1}{2}\right)^{2}$$

若要对 \frac{3x+1}{2} 进行幂运算，请同时对分子和分母进行幂运算，然后相除。

$$3x+4=\frac{\left(3x+1\right)^{2}}{2^{2}}$$

使用二项式定理 \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} 展开 \left(3x+1\right)^{2}。

$$3x+4=\frac{9x^{2}+6x+1}{2^{2}}$$

计算 2 的 2 乘方，得到 4。

$$3x+4=\frac{9x^{2}+6x+1}{4}$$

9x^{2}+6x+1 的每项除以 4 得 \frac{9}{4}x^{2}+\frac{3}{2}x+\frac{1}{4}。

$$3x+4=\frac{9}{4}x^{2}+\frac{3}{2}x+\frac{1}{4}$$

将方程式两边同时减去 \frac{9}{4}x^{2}。

$$3x+4-\frac{9}{4}x^{2}=\frac{3}{2}x+\frac{1}{4}$$

将方程式两边同时减去 \frac{3}{2}x。

$$3x+4-\frac{9}{4}x^{2}-\frac{3}{2}x=\frac{1}{4}$$

合并 3x 和 -\frac{3}{2}x，得到 \frac{3}{2}x。

$$\frac{3}{2}x+4-\frac{9}{4}x^{2}=\frac{1}{4}$$

将方程式两边同时减去 \frac{1}{4}。

$$\frac{3}{2}x+4-\frac{9}{4}x^{2}-\frac{1}{4}=0$$

将 4 减去 \frac{1}{4}，得到 \frac{15}{4}。

$$\frac{3}{2}x+\frac{15}{4}-\frac{9}{4}x^{2}=0$$

形式为 ax^{2}+bx+c=0 的所有方程式均可求解，方法是使用二次公式来求解: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}。此二次公式可得到两个解，一个是当 ± 取加号时的解，另一个是取减号时的解。

$$-\frac{9}{4}x^{2}+\frac{3}{2}x+\frac{15}{4}=0$$

此公式采用标准形式: ax^{2}+bx+c=0。在二次公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 中用 -\frac{9}{4} 替换 a，\frac{3}{2} 替换 b，并用 \frac{15}{4} 替换 c。

$$x=\frac{-\frac{3}{2}±\sqrt{\left(\frac{3}{2}\right)^{2}-4\left(-\frac{9}{4}\right)\times \frac{15}{4}}}{2\left(-\frac{9}{4}\right)}$$

对 \frac{3}{2} 进行平方运算，方法是同时对该分数的分子和分母进行平方运算。

$$x=\frac{-\frac{3}{2}±\sqrt{\frac{9}{4}-4\left(-\frac{9}{4}\right)\times \frac{15}{4}}}{2\left(-\frac{9}{4}\right)}$$

求 -4 与 -\frac{9}{4} 的乘积。

$$x=\frac{-\frac{3}{2}±\sqrt{\frac{9}{4}+9\times \frac{15}{4}}}{2\left(-\frac{9}{4}\right)}$$

求 9 与 \frac{15}{4} 的乘积。

$$x=\frac{-\frac{3}{2}±\sqrt{\frac{9+135}{4}}}{2\left(-\frac{9}{4}\right)}$$

将 \frac{135}{4} 加上 \frac{9}{4}，计算方法是寻找公分母，加上各自的分子。然后将所得分数进行约分化为最简分数。

$$x=\frac{-\frac{3}{2}±\sqrt{36}}{2\left(-\frac{9}{4}\right)}$$

取 36 的平方根。

$$x=\frac{-\frac{3}{2}±6}{2\left(-\frac{9}{4}\right)}$$

求 2 与 -\frac{9}{4} 的乘积。

$$x=\frac{-\frac{3}{2}±6}{-\frac{9}{2}}$$

现在 ± 为加号时求公式 x=\frac{-\frac{3}{2}±6}{-\frac{9}{2}} 的解。 将 6 加上 -\frac{3}{2}。

$$x=\frac{\frac{9}{2}}{-\frac{9}{2}}$$

\frac{9}{2} 除以 -\frac{9}{2} 的计算方法是用 \frac{9}{2} 乘以 -\frac{9}{2} 的倒数。

$$x=-1$$

现在 ± 为减号时求公式 x=\frac{-\frac{3}{2}±6}{-\frac{9}{2}} 的解。 将 -\frac{3}{2} 减去 6。

$$x=-\frac{\frac{15}{2}}{-\frac{9}{2}}$$

-\frac{15}{2} 除以 -\frac{9}{2} 的计算方法是用 -\frac{15}{2} 乘以 -\frac{9}{2} 的倒数。

$$x=\frac{5}{3}$$

现已求得方程式的解。

$$x=-1 x=\frac{5}{3}$$

用 -1 替代方程 \sqrt{3x+4}=\frac{3x+1}{2} 中的 x。

$$\sqrt{3\left(-1\right)+4}=\frac{3\left(-1\right)+1}{2}$$

化简。 x=-1 的值不满足公式，因为左侧和右侧具有相反的符号。

$$1=-1$$

用 \frac{5}{3} 替代方程 \sqrt{3x+4}=\frac{3x+1}{2} 中的 x。

$$\sqrt{3\times \frac{5}{3}+4}=\frac{3\times \frac{5}{3}+1}{2}$$

化简。 值 x=\frac{5}{3} 满足公式。

$$3=3$$

公式 \sqrt{3x+4}=\frac{3x+1}{2} 具有唯一解。

$$x=\frac{5}{3}$$