求解 sqrt{25-x^2}-sqrt{15+x^2}=4

$$\sqrt { 25 - x ^ { 2 } } - \sqrt { 15 + x ^ { 2 } } = 4$$

求解 x 的值 (复数求解)

$$x=-\sqrt{11}i\approx -0-3.31662479i$$

$$x=\sqrt{11}i\approx 3.31662479i$$

求解步骤

将等式的两边同时减去 -\sqrt{15+x^{2}}。

$$\sqrt{25-x^{2}}=4+\sqrt{15+x^{2}}$$

对方程式的两边同时进行平方运算。

$$\left(\sqrt{25-x^{2}}\right)^{2}=\left(4+\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}$$

计算 2 的 \sqrt{25-x^{2}} 乘方，得到 25-x^{2}。

$$25-x^{2}=\left(4+\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}$$

使用二项式定理 \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} 展开 \left(4+\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}。

$$25-x^{2}=16+8\sqrt{15+x^{2}}+\left(\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}$$

计算 2 的 \sqrt{15+x^{2}} 乘方，得到 15+x^{2}。

$$25-x^{2}=16+8\sqrt{15+x^{2}}+15+x^{2}$$

16 与 15 相加，得到 31。

$$25-x^{2}=31+8\sqrt{15+x^{2}}+x^{2}$$

将等式的两边同时减去 31+x^{2}。

$$25-x^{2}-\left(31+x^{2}\right)=8\sqrt{15+x^{2}}$$

要查找 31+x^{2} 的相反数，请查找每一项的相反数。

$$25-x^{2}-31-x^{2}=8\sqrt{15+x^{2}}$$

将 25 减去 31，得到 -6。

$$-6-x^{2}-x^{2}=8\sqrt{15+x^{2}}$$

合并 -x^{2} 和 -x^{2}，得到 -2x^{2}。

$$-6-2x^{2}=8\sqrt{15+x^{2}}$$

对方程式的两边同时进行平方运算。

$$\left(-6-2x^{2}\right)^{2}=\left(8\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}$$

使用二项式定理 \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} 展开 \left(-6-2x^{2}\right)^{2}。

$$36+24x^{2}+4\left(x^{2}\right)^{2}=\left(8\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}$$

要对幂进行幂运算，即将指数相乘。2 乘 2 得 4。

$$36+24x^{2}+4x^{4}=\left(8\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}$$

展开 \left(8\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}。

$$36+24x^{2}+4x^{4}=8^{2}\left(\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}$$

计算 2 的 8 乘方，得到 64。

$$36+24x^{2}+4x^{4}=64\left(\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}$$

计算 2 的 \sqrt{15+x^{2}} 乘方，得到 15+x^{2}。

$$36+24x^{2}+4x^{4}=64\left(15+x^{2}\right)$$

使用分配律将 64 乘以 15+x^{2}。

$$36+24x^{2}+4x^{4}=960+64x^{2}$$

将方程式两边同时减去 960。

$$36+24x^{2}+4x^{4}-960=64x^{2}$$

将 36 减去 960，得到 -924。

$$-924+24x^{2}+4x^{4}=64x^{2}$$

将方程式两边同时减去 64x^{2}。

$$-924+24x^{2}+4x^{4}-64x^{2}=0$$

合并 24x^{2} 和 -64x^{2}，得到 -40x^{2}。

$$-924-40x^{2}+4x^{4}=0$$

将 t 替换为 x^{2}。

$$4t^{2}-40t-924=0$$

ax^{2}+bx+c=0 形式的所有方程式都可以使用二次公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 来求解。在二次公式中，用 a 替换 4、用 -40 替换 b、用 -924 替换 c。

$$t=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{\left(-40\right)^{2}-4\times 4\left(-924\right)}}{2\times 4}$$

完成计算。

$$t=\frac{40±128}{8}$$

求 ± 为加号和 ± 为减号时方程式 t=\frac{40±128}{8} 的解。

$$t=21 t=-11$$

由于 x=t^{2}, 解是通过对每个 t 判定 x=±\sqrt{t} 得到的。

$$x=-\sqrt{21} x=\sqrt{21} x=-\sqrt{11}i x=\sqrt{11}i$$

用 -\sqrt{21} 替代方程 \sqrt{25-x^{2}}-\sqrt{15+x^{2}}=4 中的 x。

$$\sqrt{25-\left(-\sqrt{21}\right)^{2}}-\sqrt{15+\left(-\sqrt{21}\right)^{2}}=4$$

化简。 x=-\sqrt{21} 的值不满足公式，因为左侧和右侧具有相反的符号。

$$-4=4$$

用 \sqrt{21} 替代方程 \sqrt{25-x^{2}}-\sqrt{15+x^{2}}=4 中的 x。

$$\sqrt{25-\left(\sqrt{21}\right)^{2}}-\sqrt{15+\left(\sqrt{21}\right)^{2}}=4$$

化简。 x=\sqrt{21} 的值不满足公式，因为左侧和右侧具有相反的符号。

$$-4=4$$

用 -\sqrt{11}i 替代方程 \sqrt{25-x^{2}}-\sqrt{15+x^{2}}=4 中的 x。

$$\sqrt{25-\left(-\sqrt{11}i\right)^{2}}-\sqrt{15+\left(-\sqrt{11}i\right)^{2}}=4$$

化简。 值 x=-\sqrt{11}i 满足公式。

$$4=4$$

用 \sqrt{11}i 替代方程 \sqrt{25-x^{2}}-\sqrt{15+x^{2}}=4 中的 x。

$$\sqrt{25-\left(\sqrt{11}i\right)^{2}}-\sqrt{15+\left(\sqrt{11}i\right)^{2}}=4$$

化简。 值 x=\sqrt{11}i 满足公式。

$$4=4$$

列出 \sqrt{25-x^{2}}=\sqrt{x^{2}+15}+4 的所有解。

$$x=-\sqrt{11}i x=\sqrt{11}i$$