求解 sqrt{2x-1}+sqrt{3x+1}=7

$$\sqrt { 2 x - 1 } + \sqrt { 3 x + 1 } = 7$$

求解 x 的值

$$x=5$$

求解步骤

将等式的两边同时减去 \sqrt{3x+1}。

$$\sqrt{2x-1}=7-\sqrt{3x+1}$$

对方程式的两边同时进行平方运算。

$$\left(\sqrt{2x-1}\right)^{2}=\left(7-\sqrt{3x+1}\right)^{2}$$

计算 2 的 \sqrt{2x-1} 乘方，得到 2x-1。

$$2x-1=\left(7-\sqrt{3x+1}\right)^{2}$$

使用二项式定理 \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} 展开 \left(7-\sqrt{3x+1}\right)^{2}。

$$2x-1=49-14\sqrt{3x+1}+\left(\sqrt{3x+1}\right)^{2}$$

计算 2 的 \sqrt{3x+1} 乘方，得到 3x+1。

$$2x-1=49-14\sqrt{3x+1}+3x+1$$

49 与 1 相加，得到 50。

$$2x-1=50-14\sqrt{3x+1}+3x$$

将等式的两边同时减去 50+3x。

$$2x-1-\left(50+3x\right)=-14\sqrt{3x+1}$$

要查找 50+3x 的相反数，请查找每一项的相反数。

$$2x-1-50-3x=-14\sqrt{3x+1}$$

将 -1 减去 50，得到 -51。

$$2x-51-3x=-14\sqrt{3x+1}$$

合并 2x 和 -3x，得到 -x。

$$-x-51=-14\sqrt{3x+1}$$

对方程式的两边同时进行平方运算。

$$\left(-x-51\right)^{2}=\left(-14\sqrt{3x+1}\right)^{2}$$

使用二项式定理 \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} 展开 \left(-x-51\right)^{2}。

$$x^{2}+102x+2601=\left(-14\sqrt{3x+1}\right)^{2}$$

展开 \left(-14\sqrt{3x+1}\right)^{2}。

$$x^{2}+102x+2601=\left(-14\right)^{2}\left(\sqrt{3x+1}\right)^{2}$$

计算 2 的 -14 乘方，得到 196。

$$x^{2}+102x+2601=196\left(\sqrt{3x+1}\right)^{2}$$

计算 2 的 \sqrt{3x+1} 乘方，得到 3x+1。

$$x^{2}+102x+2601=196\left(3x+1\right)$$

使用分配律将 196 乘以 3x+1。

$$x^{2}+102x+2601=588x+196$$

将方程式两边同时减去 588x。

$$x^{2}+102x+2601-588x=196$$

合并 102x 和 -588x，得到 -486x。

$$x^{2}-486x+2601=196$$

将方程式两边同时减去 196。

$$x^{2}-486x+2601-196=0$$

将 2601 减去 196，得到 2405。

$$x^{2}-486x+2405=0$$

此公式采用标准形式: ax^{2}+bx+c=0。在二次公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 中用 1 替换 a，-486 替换 b，并用 2405 替换 c。

$$x=\frac{-\left(-486\right)±\sqrt{\left(-486\right)^{2}-4\times 2405}}{2}$$

对 -486 进行平方运算。

$$x=\frac{-\left(-486\right)±\sqrt{236196-4\times 2405}}{2}$$

求 -4 与 2405 的乘积。

$$x=\frac{-\left(-486\right)±\sqrt{236196-9620}}{2}$$

将 -9620 加上 236196。

$$x=\frac{-\left(-486\right)±\sqrt{226576}}{2}$$

取 226576 的平方根。

$$x=\frac{-\left(-486\right)±476}{2}$$

-486 的相反数是 486。

$$x=\frac{486±476}{2}$$

现在 ± 为加号时求公式 x=\frac{486±476}{2} 的解。 将 476 加上 486。

$$x=\frac{962}{2}$$

962 除以 2。

$$x=481$$

现在 ± 为减号时求公式 x=\frac{486±476}{2} 的解。 将 486 减去 476。

$$x=\frac{10}{2}$$

10 除以 2。

$$x=5$$

现已求得方程式的解。

$$x=481 x=5$$

用 481 替代方程 \sqrt{2x-1}+\sqrt{3x+1}=7 中的 x。

$$\sqrt{2\times 481-1}+\sqrt{3\times 481+1}=7$$

化简。 x=481 的值不满足公式。

$$69=7$$

用 5 替代方程 \sqrt{2x-1}+\sqrt{3x+1}=7 中的 x。

$$\sqrt{2\times 5-1}+\sqrt{3\times 5+1}=7$$

化简。 值 x=5 满足公式。

$$7=7$$

公式 \sqrt{2x-1}=-\sqrt{3x+1}+7 具有唯一解。

$$x=5$$