求解 sqrt{2-x}=x-1

$$\sqrt { 2 - x } = x - 1$$

求解 x 的值

$$x = \frac{\sqrt{5} + 1}{2} \approx 1.618033989$$

求解步骤

对方程式的两边同时进行平方运算。

$$\left(\sqrt{2-x}\right)^{2}=\left(x-1\right)^{2}$$

计算 2 的 \sqrt{2-x} 乘方，得到 2-x。

$$2-x=\left(x-1\right)^{2}$$

使用二项式定理 \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} 展开 \left(x-1\right)^{2}。

$$2-x=x^{2}-2x+1$$

将方程式两边同时减去 x^{2}。

$$2-x-x^{2}=-2x+1$$

将 2x 添加到两侧。

$$2-x-x^{2}+2x=1$$

合并 -x 和 2x，得到 x。

$$2+x-x^{2}=1$$

将方程式两边同时减去 1。

$$2+x-x^{2}-1=0$$

将 2 减去 1，得到 1。

$$1+x-x^{2}=0$$

形式为 ax^{2}+bx+c=0 的所有方程式均可求解，方法是使用二次公式来求解: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}。此二次公式可得到两个解，一个是当 ± 取加号时的解，另一个是取减号时的解。

$$-x^{2}+x+1=0$$

此公式采用标准形式: ax^{2}+bx+c=0。在二次公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 中用 -1 替换 a，1 替换 b，并用 1 替换 c。

$$x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\left(-1\right)}}{2\left(-1\right)}$$

对 1 进行平方运算。

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-4\left(-1\right)}}{2\left(-1\right)}$$

求 -4 与 -1 的乘积。

$$x=\frac{-1±\sqrt{1+4}}{2\left(-1\right)}$$

将 4 加上 1。

$$x=\frac{-1±\sqrt{5}}{2\left(-1\right)}$$

求 2 与 -1 的乘积。

$$x=\frac{-1±\sqrt{5}}{-2}$$

现在 ± 为加号时求公式 x=\frac{-1±\sqrt{5}}{-2} 的解。 将 \sqrt{5} 加上 -1。

$$x=\frac{\sqrt{5}-1}{-2}$$

-1+\sqrt{5} 除以 -2。

$$x=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$$

现在 ± 为减号时求公式 x=\frac{-1±\sqrt{5}}{-2} 的解。 将 -1 减去 \sqrt{5}。

$$x=\frac{-\sqrt{5}-1}{-2}$$

-1-\sqrt{5} 除以 -2。

$$x=\frac{\sqrt{5}+1}{2}$$

现已求得方程式的解。

$$x=\frac{1-\sqrt{5}}{2} x=\frac{\sqrt{5}+1}{2}$$

用 \frac{1-\sqrt{5}}{2} 替代方程 \sqrt{2-x}=x-1 中的 x。

$$\sqrt{2-\frac{1-\sqrt{5}}{2}}=\frac{1-\sqrt{5}}{2}-1$$

化简。 x=\frac{1-\sqrt{5}}{2} 的值不满足公式，因为左侧和右侧具有相反的符号。

$$\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\times 5^{\frac{1}{2}}=-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\times 5^{\frac{1}{2}}$$

用 \frac{\sqrt{5}+1}{2} 替代方程 \sqrt{2-x}=x-1 中的 x。

$$\sqrt{2-\frac{\sqrt{5}+1}{2}}=\frac{\sqrt{5}+1}{2}-1$$

化简。 值 x=\frac{\sqrt{5}+1}{2} 满足公式。

$$-\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\times 5^{\frac{1}{2}}\right)=\frac{1}{2}\times 5^{\frac{1}{2}}-\frac{1}{2}$$

公式 \sqrt{2-x}=x-1 具有唯一解。

$$x=\frac{\sqrt{5}+1}{2}$$