求解 sqrt{15+x^2}-sqrt{19-x^2}=2

$$\sqrt { 15 + x ^ { 2 } } - \sqrt { 19 - x ^ { 2 } } = 2$$

求解 x 的值

$$x=\sqrt{10}\approx 3.16227766$$

$$x=-\sqrt{10}\approx -3.16227766$$

求解步骤

将等式的两边同时减去 -\sqrt{19-x^{2}}。

$$\sqrt{15+x^{2}}=2+\sqrt{19-x^{2}}$$

对方程式的两边同时进行平方运算。

$$\left(\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}=\left(2+\sqrt{19-x^{2}}\right)^{2}$$

计算 2 的 \sqrt{15+x^{2}} 乘方，得到 15+x^{2}。

$$15+x^{2}=\left(2+\sqrt{19-x^{2}}\right)^{2}$$

使用二项式定理 \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} 展开 \left(2+\sqrt{19-x^{2}}\right)^{2}。

$$15+x^{2}=4+4\sqrt{19-x^{2}}+\left(\sqrt{19-x^{2}}\right)^{2}$$

计算 2 的 \sqrt{19-x^{2}} 乘方，得到 19-x^{2}。

$$15+x^{2}=4+4\sqrt{19-x^{2}}+19-x^{2}$$

4 与 19 相加，得到 23。

$$15+x^{2}=23+4\sqrt{19-x^{2}}-x^{2}$$

将等式的两边同时减去 23-x^{2}。

$$15+x^{2}-\left(23-x^{2}\right)=4\sqrt{19-x^{2}}$$

要查找 23-x^{2} 的相反数，请查找每一项的相反数。

$$15+x^{2}-23+x^{2}=4\sqrt{19-x^{2}}$$

将 15 减去 23，得到 -8。

$$-8+x^{2}+x^{2}=4\sqrt{19-x^{2}}$$

合并 x^{2} 和 x^{2}，得到 2x^{2}。

$$-8+2x^{2}=4\sqrt{19-x^{2}}$$

对方程式的两边同时进行平方运算。

$$\left(-8+2x^{2}\right)^{2}=\left(4\sqrt{19-x^{2}}\right)^{2}$$

使用二项式定理 \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} 展开 \left(-8+2x^{2}\right)^{2}。

$$64-32x^{2}+4\left(x^{2}\right)^{2}=\left(4\sqrt{19-x^{2}}\right)^{2}$$

要对幂进行幂运算，即将指数相乘。2 乘 2 得 4。

$$64-32x^{2}+4x^{4}=\left(4\sqrt{19-x^{2}}\right)^{2}$$

展开 \left(4\sqrt{19-x^{2}}\right)^{2}。

$$64-32x^{2}+4x^{4}=4^{2}\left(\sqrt{19-x^{2}}\right)^{2}$$

计算 2 的 4 乘方，得到 16。

$$64-32x^{2}+4x^{4}=16\left(\sqrt{19-x^{2}}\right)^{2}$$

计算 2 的 \sqrt{19-x^{2}} 乘方，得到 19-x^{2}。

$$64-32x^{2}+4x^{4}=16\left(19-x^{2}\right)$$

使用分配律将 16 乘以 19-x^{2}。

$$64-32x^{2}+4x^{4}=304-16x^{2}$$

将方程式两边同时减去 304。

$$64-32x^{2}+4x^{4}-304=-16x^{2}$$

将 64 减去 304，得到 -240。

$$-240-32x^{2}+4x^{4}=-16x^{2}$$

将 16x^{2} 添加到两侧。

$$-240-32x^{2}+4x^{4}+16x^{2}=0$$

合并 -32x^{2} 和 16x^{2}，得到 -16x^{2}。

$$-240-16x^{2}+4x^{4}=0$$

将 t 替换为 x^{2}。

$$4t^{2}-16t-240=0$$

ax^{2}+bx+c=0 形式的所有方程式都可以使用二次公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 来求解。在二次公式中，用 a 替换 4、用 -16 替换 b、用 -240 替换 c。

$$t=\frac{-\left(-16\right)±\sqrt{\left(-16\right)^{2}-4\times 4\left(-240\right)}}{2\times 4}$$

完成计算。

$$t=\frac{16±64}{8}$$

求 ± 为加号和 ± 为减号时方程式 t=\frac{16±64}{8} 的解。

$$t=10 t=-6$$

从 x=t^{2} 以来，解决方案是通过计算积极 t x=±\sqrt{t} 获得的。

$$x=\sqrt{10} x=-\sqrt{10}$$

用 \sqrt{10} 替代方程 \sqrt{15+x^{2}}-\sqrt{19-x^{2}}=2 中的 x。

$$\sqrt{15+\left(\sqrt{10}\right)^{2}}-\sqrt{19-\left(\sqrt{10}\right)^{2}}=2$$

化简。 值 x=\sqrt{10} 满足公式。

$$2=2$$

用 -\sqrt{10} 替代方程 \sqrt{15+x^{2}}-\sqrt{19-x^{2}}=2 中的 x。

$$\sqrt{15+\left(-\sqrt{10}\right)^{2}}-\sqrt{19-\left(-\sqrt{10}\right)^{2}}=2$$

化简。 值 x=-\sqrt{10} 满足公式。

$$2=2$$

列出 \sqrt{x^{2}+15}=\sqrt{19-x^{2}}+2 的所有解。

$$x=\sqrt{10} x=-\sqrt{10}$$