求解 sqrt{frac{sqrt[5]{sqrt{20^{30}*3^{20}*5^60}}}{sqrt[3]{sqrt{sqrt{2^36*3^24*5^48}}}}}

$$\sqrt { \frac { \sqrt[ 5 ] { \sqrt { 20 ^ { 30 } \cdot 3 ^ { 20 } \cdot 5 ^ { 60 } } } } { \sqrt[ 3 ] { \sqrt { \sqrt { 2 ^ { 36 } \cdot 3 ^ { 24 } \cdot 5 ^ { 48 } } } } } }$$

求值

$$\frac{25\times 4096^{\frac{23}{24}}\sqrt[20]{9765625}}{1024}\approx 158.113883008$$

求解步骤

计算 30 的 20 乘方，得到 1073741824000000000000000000000000000000。

$$\sqrt{\frac{\sqrt[5]{\sqrt{1073741824000000000000000000000000000000\times 3^{20}\times 5^{60}}}}{\sqrt[3]{\sqrt{\sqrt{2^{36}\times 3^{24}\times 5^{48}}}}}}$$

计算 20 的 3 乘方，得到 3486784401。

$$\sqrt{\frac{\sqrt[5]{\sqrt{1073741824000000000000000000000000000000\times 3486784401\times 5^{60}}}}{\sqrt[3]{\sqrt{\sqrt{2^{36}\times 3^{24}\times 5^{48}}}}}}$$

将 1073741824000000000000000000000000000000 与 3486784401 相乘，得到 3743906242624487424000000000000000000000000000000。

$$\sqrt{\frac{\sqrt[5]{\sqrt{3743906242624487424000000000000000000000000000000\times 5^{60}}}}{\sqrt[3]{\sqrt{\sqrt{2^{36}\times 3^{24}\times 5^{48}}}}}}$$

计算 60 的 5 乘方，得到 867361737988403547205962240695953369140625。

$$\sqrt{\frac{\sqrt[5]{\sqrt{3743906242624487424000000000000000000000000000000\times 867361737988403547205962240695953369140625}}}{\sqrt[3]{\sqrt{\sqrt{2^{36}\times 3^{24}\times 5^{48}}}}}}$$

将 3743906242624487424000000000000000000000000000000 与 867361737988403547205962240695953369140625 相乘，得到 3247321025468409061431884765625000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000。

$$\sqrt{\frac{\sqrt[5]{\sqrt{3247321025468409061431884765625000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000}}}{\sqrt[3]{\sqrt{\sqrt{2^{36}\times 3^{24}\times 5^{48}}}}}}$$

计算 3247321025468409061431884765625000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000 的平方根并得到 1802032470703125000000000000000000000000000000。

$$\sqrt{\frac{\sqrt[5]{1802032470703125000000000000000000000000000000}}{\sqrt[3]{\sqrt{\sqrt{2^{36}\times 3^{24}\times 5^{48}}}}}}$$

计算 \sqrt[5]{1802032470703125000000000000000000000000000000} 得到 1125000000。

$$\sqrt{\frac{1125000000}{\sqrt[3]{\sqrt{\sqrt{2^{36}\times 3^{24}\times 5^{48}}}}}}$$

计算 36 的 2 乘方，得到 68719476736。

$$\sqrt{\frac{1125000000}{\sqrt[3]{\sqrt{\sqrt{68719476736\times 3^{24}\times 5^{48}}}}}}$$

计算 24 的 3 乘方，得到 282429536481。

$$\sqrt{\frac{1125000000}{\sqrt[3]{\sqrt{\sqrt{68719476736\times 282429536481\times 5^{48}}}}}}$$

将 68719476736 与 282429536481 相乘，得到 19408409961765342806016。

$$\sqrt{\frac{1125000000}{\sqrt[3]{\sqrt{\sqrt{19408409961765342806016\times 5^{48}}}}}}$$

计算 48 的 5 乘方，得到 3552713678800500929355621337890625。

$$\sqrt{\frac{1125000000}{\sqrt[3]{\sqrt{\sqrt{19408409961765342806016\times 3552713678800500929355621337890625}}}}}$$

将 19408409961765342806016 与 3552713678800500929355621337890625 相乘，得到 68952523554931640625000000000000000000000000000000000000。

$$\sqrt{\frac{1125000000}{\sqrt[3]{\sqrt{\sqrt{68952523554931640625000000000000000000000000000000000000}}}}}$$

计算 68952523554931640625000000000000000000000000000000000000 的平方根并得到 8303765625000000000000000000。

$$\sqrt{\frac{1125000000}{\sqrt[3]{\sqrt{8303765625000000000000000000}}}}$$

计算 8303765625000000000000000000 的平方根并得到 91125000000000。

$$\sqrt{\frac{1125000000}{\sqrt[3]{91125000000000}}}$$

计算 \sqrt[3]{91125000000000} 得到 45000。

$$\sqrt{\frac{1125000000}{45000}}$$

1125000000 除以 45000 得 25000。

$$\sqrt{25000}$$

因式分解 25000=50^{2}\times 10。 将乘积 \sqrt{50^{2}\times 10} 的平方根重写为平方根 \sqrt{50^{2}}\sqrt{10} 的乘积。 取 50^{2} 的平方根。

$$50\sqrt{10}$$