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关于 θ 的微分
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求值
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\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\theta }(\sin(\theta ))=\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(\theta +h)-\sin(\theta )}{h}\right)
对于函数 f\left(x\right),导数是指当 h 无限趋于 0 时 \frac{f\left(x+h\right)-f\left(x\right)}{h} 的极限,如果该极限存在的话。
\lim_{h\to 0}\frac{\sin(h+\theta )-\sin(\theta )}{h}
使用和的正弦公式。
\lim_{h\to 0}\frac{\sin(\theta )\left(\cos(h)-1\right)+\cos(\theta )\sin(h)}{h}
因式分解出 \sin(\theta )。
\left(\lim_{h\to 0}\sin(\theta )\right)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}\right)+\left(\lim_{h\to 0}\cos(\theta )\right)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{h}\right)
改写该极限。
\sin(\theta )\left(\lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}\right)+\cos(\theta )\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{h}\right)
当计算 h 趋近于 0 时的极限时,使用 \theta 是一个常数这一事实。
\sin(\theta )\left(\lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}\right)+\cos(\theta )
极限 \lim_{\theta \to 0}\frac{\sin(\theta )}{\theta } 为 1。
\left(\lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}\right)=\left(\lim_{h\to 0}\frac{\left(\cos(h)-1\right)\left(\cos(h)+1\right)}{h\left(\cos(h)+1\right)}\right)
要求值极限 \lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h},首先将分子和分母同时乘以 \cos(h)+1。
\lim_{h\to 0}\frac{\left(\cos(h)\right)^{2}-1}{h\left(\cos(h)+1\right)}
求 \cos(h)+1 与 \cos(h)-1 的乘积。
\lim_{h\to 0}-\frac{\left(\sin(h)\right)^{2}}{h\left(\cos(h)+1\right)}
使用勾股定理。
\left(\lim_{h\to 0}-\frac{\sin(h)}{h}\right)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{\cos(h)+1}\right)
改写该极限。
-\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{\cos(h)+1}\right)
极限 \lim_{\theta \to 0}\frac{\sin(\theta )}{\theta } 为 1。
\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{\cos(h)+1}\right)=0
运用 \frac{\sin(h)}{\cos(h)+1} 在 0 处是连续的这一事实。
\cos(\theta )
将值 0 替换到表达式 \sin(\theta )\left(\lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}\right)+\cos(\theta ) 中。