求解 operatorname{cotg}(2x-pi)=operatorname{cotg}(x+pi/3)

$$\operatorname { cotg } ( 2 x - \pi ) = \operatorname { cotg } ( x + \frac { \pi } { 3 } )$$

求解 x 的值

$$\left\{\begin{matrix}x=\frac{4\pi }{3}\text{, }&\nexists n_{1}\in \mathrm{Z}\text{ : }g=\pi n_{1}\\x\in \mathrm{R}\text{, }&\exists n_{2}\in \mathrm{Z}\text{ : }g=\pi n_{2}+\frac{\pi }{2}\end{matrix}\right.$$

求解线性方程的步骤

将方程式的两边同时乘以 3。

$$3\cot(g)\left(2x-\pi \right)=3\cot(g)\left(x+\frac{\pi }{3}\right)$$

使用分配律将 3\cot(g) 乘以 2x-\pi 。

$$6\cot(g)x-3\cot(g)\pi =3\cot(g)\left(x+\frac{\pi }{3}\right)$$

使用分配律将 3\cot(g) 乘以 x+\frac{\pi }{3}。

$$6\cot(g)x-3\cot(g)\pi =3\cot(g)x+3\cot(g)\times \frac{\pi }{3}$$

将 3\times \frac{\pi }{3} 化为简分数。

$$6\cot(g)x-3\cot(g)\pi =3\cot(g)x+\frac{3\pi }{3}\cot(g)$$

消去 3 和 3。

$$6\cot(g)x-3\cot(g)\pi =3\cot(g)x+\pi \cot(g)$$

将方程式两边同时减去 3\cot(g)x。

$$6\cot(g)x-3\cot(g)\pi -3\cot(g)x=\pi \cot(g)$$

合并 6\cot(g)x 和 -3\cot(g)x，得到 3\cot(g)x。

$$3\cot(g)x-3\cot(g)\pi =\pi \cot(g)$$

将 3\cot(g)\pi 添加到两侧。

$$3\cot(g)x=\pi \cot(g)+3\cot(g)\pi$$

合并 \pi \cot(g) 和 3\cot(g)\pi ，得到 4\pi \cot(g)。

$$3\cot(g)x=4\pi \cot(g)$$

两边同时除以 3\cot(g)。

$$\frac{3\cot(g)x}{3\cot(g)}=\frac{4\pi \cot(g)}{3\cot(g)}$$

除以 3\cot(g) 是乘以 3\cot(g) 的逆运算。

$$x=\frac{4\pi \cot(g)}{3\cot(g)}$$

4\pi \cot(g) 除以 3\cot(g)。

$$x=\frac{4\pi }{3}$$

求解 g 的值

$$\left\{\begin{matrix}\\g=\pi n_{1}+\frac{\pi }{2}\text{, }n_{1}\in \mathrm{Z}\text{, }&\text{unconditionally}\\g\neq \pi n_{2}\text{, }\forall n_{2}\in \mathrm{Z}\text{, }&x=\frac{4\pi }{3}\end{matrix}\right.$$